时间:2024-05-08
◎陈 邠 (江苏省苏州市觅渡中学,江苏 苏州 215000)
《义务教育数学课程标准》(2011年版)提出有效实践应用的要求,即要求学生把复杂的数学问题转换成简单的图形,并通过分析图形解决问题.本文以2019年苏州市中考第27题为例,带领学生一起尝试从多角度分析图形,探究高效解决图形综合题的途径.引导学生深度学习,发展学生耐心细致、逆向剖析等多种思维品质.
(1)直接写出动点M的运动速度为________cm/s,BC的长度为________cm.
(2)如图3,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s),已知两动点M、N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M、N相遇后立即同时停止运动,记此时ΔAPM与ΔDPN的面积分别为S1(cm2),S2(cm2).
①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围;
②试探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值,并确定运动时间x的值;若不存在,请说明理由.
本题是四边形综合题,涉及了矩形的性质、函数的图像和性质、三角形面积公式、梯形面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识点.本题综合性强,正确理解函数图像、合理分割图形是解题关键.本题的三组问题对读图和分析的要求依次递增,内容上又前后联系,较为全面地考查了学生的几何直观能力,试题信度、效度和区分度较高.本题虽为中考题,但对新初三学生来说,完全可以利用已学知识来解决.
解答第(1)小题的要求为具有初级读图能力,结合图1和图2,认识到M点运动2.5秒时在B点,易得M点的速度.M点从B点到C点运动了5秒,进而可得线段BC的长度.学生只要看懂此一次函数图像中转折点的含义就能解决问题,大多数学生可以很快完成.个别学生读图时误将7.5秒当作M点在线段BC上的运动时间,求得线段BC的长为15厘米,导致下面的解答完全错误.由此可见,在课堂练习中,学生都很容易忽视细节匆忙答题,那么在中考这样高强度高压力的状态下,面对信息量较大的题时,学生更容易忙中出错.因此,现阶段我们要重视培养学生合理调整情绪,稳住心态,沉下心来耐心仔细读题的学习习惯.
本题第(2)题第②小题是“探究S1·S2是否存在最大值,若存在,求出S1·S2的最大值,并确定运动时间x的值;若不存在,请说明理由”.
解法一:
学生都知道求最值要构造二次函数,他们的思考方向是如何用x的代数式分别表示S1、S2,然后做乘法求二次函数最值.常规做法如图4,利用分割法把ΔAPM与ΔDPN分别分割成便于面积计算的图形.
过P点作PF⊥AB交AB于F点,延长FP交DC于E点.
由平行线性质得AF=DE=2,
∴CE=BF=3,PF=4,则PE=6.
∴S1=S△APF+S四边形PFBM-S△ABM=-2x+15,
S2=S△DEP+S四边形EPMC-S△DCM=2x.
解法二:
除了常规分割法外,有没有其他求S1·S2的方法呢?如果把△APM与△DPN看作一个整体,S1+S2的值是不是更容易求得呢?在此提示下,学生很快找到S1+S2=S四边形ABCD-S△PAD-S△DCM-S△ABM=15.
∴S2=15-S1=2x,下面的解题步骤与解法一相同.
解法二的本质其实与解法一相同,仍是用x的代数式分别表示S1、S2,然后做乘法求二次函数最值,只是S2换成用作差法求得.
解法三:
在解法二的基础上,求S1+S2有没有更简便的方法呢?计算发现S1+S2的值是定值后,由此我们是否可以不借助于x的代数式,直接求得S1·S2的最大值呢?学生思考后发现:△APM与△DPN同在△AMD中,△AMD的面积是矩形的一半,只需找到△ADP中AD边上的高,就可以很快得到S1+S2的值.
如图6,过P点作PF⊥BC交BC于F点,延长FP交DA于E点.根据平行线性质得PF=3,则PE=2.
∵S1+S2=S△DAM-S△DPA=15,
解法三从问题出发,通过计算发现S1+S2的值为定值,直接求得S1·S2的最大值,此逆向思维分析方法明显优于前两种解法.
中考是对学生综合能力的全方位考查,不仅检验学生的学习能力,也考验了学生的心理抗压能力.反思我们的日常教学,考虑到学生实际情况,我们往往会选择情境简洁、问题结构容易领会的题目作为例题,导致学生对阅读量大的题不适应,在考场上看到这样的题就底气不足.
好题的标准是“表述形式简洁、流畅”,这个标准容易被误读为“情境简洁”,进而又错误地认为是“便于解题者快速领会问题结构”的题目.教师应当在日常教学中结合学生学情,主动渗透有一定阅读量、数形关系相对复杂的题目给学生,并限定解题时间,使学生习惯于在压力下解决问题,培养学生平稳的心态和高压下依旧保持耐心细致的思维品质.发展这样的品质不仅有利于学生短期的学业发展,更有利于他们终生的工作和学习.
在本题的解题过程中,大部分学生到第(2)题的第②问已没有解题方向.即便得到解法一,过程也较为烦琐,分割部分过多,多块面积计算也耗费较多时间.
究其原因,一方面,平时在分割法教学中,为了让学生更直观地认识图形特征,往往采用单一三角形或梯形让学生分割,一旦出现组合图形学生就无法进行知识迁移.我们在平时教学中注重了题型模式,但对模型本质挖掘还不够,要提升学生分析和探究的能力,合理利用“模型”,避免机械化做题.“模型化解题”教学不是为了让学生存储更多解题技巧,而是通过建模过程,培养学生抽象、概括、知识迁移等探究能力,不断优化思维方式.
另一方面,要提高学生的思维变式能力,依赖于变式教学.教师有时不知如何去变,也不敢去变,怕变出“问题”,无法收回.对一个问题进行变式,要从问题情境出发,认识到本质,通过类比、归纳找到相关问题间的内部联系和差异,从而构造出同质异体的变式问题.只有在教学中注重变式教学,才能提升学生思维的宽度和广度,最终促进学生思维的成长.
对于本题第(2)题的第②问,相较于本题解法一,解法二看似分割方式有所简化,但思维本质相同.都是由因导果,即综合法,从已知条件出发,综合图形相关性质,通过数形结合,推导出结论.而解法三是执果索因,即分析法,从需要求解的问题出发,寻找能够得到结论的条件,不断向已知条件靠拢,得到所有信息解决问题.在日常教学中,我们的例题讲解也一直采用分析法,倡导学生在练习过程中使用分析法,这样的思维方式更有的放矢,特别是对一些较为复杂的问题,逆向思维有时会使问题瞬时简化,难题也就迎刃而解了.从思维层次来看分析法是显然高于综合法的.
解法三要求学生第一步能看出S1+S2的值是定值,然后才能向下推进.如何能“看出”这一关系呢?需要几何直观.通过初步观察已知图形的组成部分,结合条件,即各部分之间的关系,来感知(视觉——几何直观)和分析(思维——逻辑推理)图形.几何直观的培养来自学习过程中经验的积累,在我们的数学教学过程中,应当不断给学生提供机会尝试探究问题,累积分析问题的活动经验,发展几何直观能力,进而有效提升思维能力.
苏州市中考卷的第27、28题一般为综合性较强、包含信息较多的题型,每题中各个小问题的难度也会阶梯式上升.学生往往发现一条有用信息就急于答题,忽略题中其他关键点,没有整体观,解题思路是单一零散的.当做到难度较大的部分,又希望能够套用现成解题模式,放弃主动分析问题的本质结构.究其原因还是学生对知识点的把握不够透彻,对探究的信心不足.
教师不管在新授课还是习题课中,都应给予学生探究、尝试、分析、归纳的机会,让学生具有整体、全面、系统的思维能力和数学直观,多角度深入思考,掌握解决问题的本质,进而达成提高思维品质的目标,将来才能不论遇到何种挑战都能从容面对.
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