基于深度学习的数学教学实践研究

施芳

【摘要】本文记述了“探索勾股数”一课的教学过程.笔者通过参加活动探究课，感悟到深度学习需要问题导向、优化设计的课堂以及学生课外的学习活动来实践，学科的核心素养才能有效提高.

【关键词】勾股数;深度学习;问题导向;优化设计;案例分析

初中阶段，学生的学业负担繁重，长期的模仿式学习容易固化思维，认知停留在浅层，不利于学科核心素养的培养，不利于长远发展.那么，教师如何在平时的教学实践中引导学生进入深度学习？

笔者今年10月参加了一次公开活动课，教师通过开展“探索勾股数”的探究活动，将深度学习的理念贯彻到教学实践中，现将活动整理成文，与同人共享.

一、案例描述

案例是苏教版八年级数学上“勾股定理”的专题活动课“探索勾股数”.

（1）课前导练

A.32=______，42=______，52=______，62=______，72=______，82=______，92=______，102=______，112=______，122=______，132=______，142=______，152=______，162=______，172=______，182=______，192=______，202=______.

B.（a+b）2=______，（a-b）2=______，（a+b）2-（a-b）2=______.

（2）新课导学

师：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块古巴比伦泥板，上面印有文书，研究发现文书实际上是一张表格，展示的都是一些较大的勾股数，那么，这些勾股数是如何找到的？由此可以做什么猜想？

生：（思考）

师：猜想：a.任何大于或等于3的正整数都可存在于某组勾股数之中;b.19与其他哪两个数可组成勾股数？28与哪两个呢？c.如何利用一个数找出与其构成勾股数的另两个数？

（3）活动探究

活动1：填表

师：（a+b）2-（a-b）2= ？

生1：（a+b）2-（a-b）2 =4ab.

师：计算准确.上式中，若令a=m2，b=n2，如何化简？

生2：原式=（m2+ n2）2-（m2- n2）2= 4m2n2.

师：不错.若将4m2n2视为（2mn）2，令a=2mn，b= m2- n2，c=m2+ n2（m，n为正整数，m>n），完成下表，有何发现？

生3：2mn，m2-n2，m2+ n2是一組勾股数.

师：2mn，m2-n2，m2+ n2是一组勾股数（m，n为正整数，m>n）.

活动2：填空

在直角三角形中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.

（1）若a=3，b=4，则c=______;（2）若a=6，b=8，则c=______;

（3）若a=12，b=16，则c=______;（4）若a=15，c=25，则b=______.

师：填好表格，有何发现？

生：若a，b，c为勾股数，则它们的正整数倍是勾股数.

师：若a，b，c为勾股数，则ma，mb，mc也是勾股数（m为正整数）.

活动3：观察表格

师：观察表格，有何发现？

生1：横向看，c比b大1;纵向看，a是奇数，b是4的整数倍.

师：按照行和列的顺序来观察，回答得很漂亮，还有其他发现吗？

生2：b与c的和是a的平方.

师：太棒了，能深入地观察到数量关系，鼓掌！

师生小结：①a为奇数;②c=b+1;③b是4的正整数倍;④b+c=a2.

师：若一个数为19，另两个勾股数是什么？

师生一起计算，将a视为19，则b+c=192，c=b+1，得b=180，c=181.

师：若将勾a表示为2n+1，其余两个勾股数是什么？

师生计算，b+c=（2n+1）2，c-b=1，得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1.

师：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数.

活动4：观察表格

师：吸取活动3的经验，有何发现？

生：横向看，c比b大2;纵向看，a是大于2的偶数.

师：若一个数为28，另两个勾股数是什么？

师生一起计算，将a视为28，则c2-b2=a2，c-b=2，得b=195，c=197.

师：若将a表示为2n（n为大于1的正整数），另两个勾股数是什么？

生：（快速计算）

师：c2-b2=a2=4n2，c=b+2，解得b=n2-1，c= n2+1，从而2n，n2-1，n2+1（n为大于1的正整数）是一组勾股数.

（4）反馈练习

1.一个勾股数是11，其余两个勾股数可以是______.

2.一个勾股数是12，其余两个勾股数可以是______.

3.a，b，c是一组勾股数，试说明ma，mb，mc也是一组勾股数.

4.若一组数中最大的数是2n2+2n+1（n为正整数），其他两个数是______.

二、案例分析与思考

（一）深度学习具备问题导向性

初中阶段，学生需要运用很多定理和公式做题，不少同学只知其然，不知其所以然.学习勾股数时，学生记住了（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）等勾股数，但勾股数其实有无数组，那么如何构造很少有同学深入思考.本节探究课就是让学生发现问题，深入研究.