渗透数学思想于课堂

姜炅祺 刘君

【摘要】初中是学生发展的重要阶段，如何将数学思想渗透在教学之中，培养学生应用数学思想解决数学问题，将所学知识内化，是每一位教师需要思考的问题.本文从“完全平方公式”这一教学课例出发，探讨如何在数学课堂的教学中渗透数学思想.

【关键词】数学思想;完全平方公式;教学方法

一、引 言

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，在整个数学教学过程中，数学思想方法的传授应是每个数学教师重要的授课内容之一.数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，只有让学生领会了数学思想方法，学生才能有效地应用知识，并形成能力.

“数与代数”在数学教学中占有重要地位，完全平方公式是其中因式分解的一个重要分支，是整式乘法的重点内容，也是初中阶段学生学习分式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，应用十分广泛.

笔者在教學中发现，不同的教师对于完全平方公式的授课处理方式都有所不同.怎样让学生经历获得及提炼的过程，感悟其作为公式的合理性，体会其中所蕴含的数学思想，并在深入理解基础上灵活运用，这是教师教学研究的重点.

二、在新授课程中渗透数学思想

（一）几何直观思想的渗透

几何直观是指凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，即将抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点.

在完全平方公式的新授教学过程中，很多教师采用几何直观的方式将完全平方公式展现给学生，以此方法引入能使学生对于完全平方公式有直观的了解.

图2完全平方公式分为两个部分：一为和的完全平方公式（如图1），二为差的完全平方公式（如图2）.

如图1，将大正方形的面积以两种不同的方式表示出来，从而有：

（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

引导学生由图形的总体与部分出发，得到和的完全平方公式.

如图2，将小正方形的面积以两种不同的方式表示出来，从而有：

（a-b）2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

引导学生由图形的部分与总体出发，得到差的完全平方公式.

图3教师在此部分的教学运用了几何直观思想.当然，在完全平方公式的综合应用中，也可以运用几何直观的思想解决.如图3，外围由四个长为a、宽为b的矩形围成，那么中间小正方形的边长即为（a-b），从而大正方形的面积也有两种方式表示，联立可得：

（a+b）2=（a-b）2+4ab.

教师在课堂上渗透几何直观的数学思想方法，将完全平方公式这样的代数形式转化为直观上的几何图形，几何直观的数学思想渗透在教学过程中，达到了良好的教学效果.

诚然，光有几何直观上的教学方法是远远不够的，还需要回归本质.在人教版第十四章的第一节，学生已经学习到了整式乘法的一般性质，教师可以引导学生运用多项式与多项式相乘的性质得到结论.

在此方面，不同教师处理的方式也有所不同，也渗透了多种数学思想.

（二）从一般到特殊思想的渗透

从一般到特殊思想是指在理论指导下，用已有的规律解决此类事物中的新问题的过程.

在完全平方公式这节课的教学过程中，有的教师从引导学生回忆多项式的乘法的运算法则、运算的依据出发，让学生自行计算（x+b）（x+d），学生可以利用公式直接写出结果，同时，学生在讨论时发现，这是（a+b）（c+d）在a=c=x时候的特殊情况.由此出发，让学生再进行自由讨论：你认为在（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，还有哪些特殊情形？你能得到什么？教师此时完全放手让学生探究.学生由于采用方法不同，经过讨论可得出的结论也多种多样.

在这个过程中，教师向学生渗透了从一般到特殊的数学思想，引导学生在多项式乘法基础上探究特例，使学生通过自己的探究与讨论发现完全平方公式的发展过程和内在的逻辑线索，符合学生的认知规律.

（三）从特殊到一般思想的渗透

从特殊到一般的思想是指通过列举特殊情况来找到共同点，从而总结规律并将规律推广到所有情况.

在完全平方公式的教学中，由于学生已经学习了多项式的乘法法则，所以，有些教师在新授课程中直接举出一些例子，让学生自己进行计算，一步步地引导学生掌握完全平方公式.渗透从特殊到一般的思想，以培养学生归纳演绎的能力.

教师先引出了一系列的问题：请同学们计算下列各式，从中你能发现什么规律？

①（m+2）2=（m+2）m+2=;

②（2x+3y）2=;

③（m-2）2=.

经过学生讨论后，教师将情况推广到一般，引导学生归纳得出运算公式，并探讨完全平方公式的特征，用语言进行描述.

学生在学习乘法公式前已经学习了多项式的乘法运算，两个完全相同的多项式相乘在计算和实际应用中较为常见.在此课中，教师先让学生自己进行两个完全相同的多项式相乘的运算，并总结发现规律，最后推广归纳一般结论——完全平方公式.学生真正经历了由特殊到一般的思想过程，其归纳演绎的能力得到了培养.

（四）比较思想的渗透

比较思想是指抓住定义中的相似的特征进行比较，有利于学生进行归纳和记忆.

在讲解完完全平方公式的课程后需要总结完全平方公式的特点，教师引导学生通过观察、比较公式（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2的关系，进行总结它们的共同特点：①二次三项式;②首末是平方项;③中间项是首末项底数积的2倍;二者的区别是前者是两数和的平方加上乘积的2倍，后者是两数和的平方减去乘积的2倍.教师用语言分析完后还可以框架的形式进行总结，进一步突出公式的特征.