巧用思维导图 提升核心素养

唐亚兰

【摘要】将思维导图引入数学教学，不但可以促进学生思维能力、创新能力与自主构建知识框架能力的发展，还可以丰富师生的学习评价方式，加深对数学知识和本质的理解，从而提高学习效率，提升数学核心素养.本文旨在聚焦三角形的诱导公式这一教学片段，引导学生积极参与教学活动，在构建思维导图的过程中，感悟知识所蕴含的数学思想，在关注学生知识技能掌握的同时，促进数学核心素养的养成.

【关键词】思维导图;核心素养;诱导公式

高中数学教学中存在的无效与低效的教学问题严重影响教学质量，不利于学生数学核心素养的提升.新课标背景下的数学教学要与时俱进，调动学生主体自觉性，引导思维过程，促使学生自主构建数学知识框架.思维导图通过绘制图形构建思维框架，引导学生主动建构，形成数学知识网络体系，掌握数学学习的技巧和方法，达到灵活运用知识的目的.

一、思維导图的含义及特征

思维导图的概念是在19世纪60年代由“记忆之父”东尼·博赞提出的，是表达发散性思维的有效图形思维工具，是学习者对特定主题的一种构建过程.思维导图的最终目的是提高学生的学习效率，以一种新颖的笔记方式呈现出来.它的中心位于中央图形上，就像一棵树，树的主干上分出各个分支，主干的主题作为中心，各分支形成一个连接的节点结构[1].与传统直线记录方式不同，思维导图以放射性思考为基础，是一个发散性、形象化的工具，随着思维的不断加深，逐步形成一个有条理和有顺序的树状图[2].运用思维导图，学生在学习过程中可以促进知识的迁移与整合，更清晰地构建知识体系，可以提高学生的学习效率.思维导图的核心在于将学生的思维可视化，将学生内心所想以树状图的形式呈现出来，在建构导图的过程中培养学生的发散性思维.

通过上述对思维导图功能的讨论，我们对思维导图进行一个新的定义：它是帮助学习者厘清思维活动，由不同形状、不同颜色绘制而成的工具.它将纷繁杂糅的信息通过不同的颜色、图形与层级形式进行表征，将不同的思想观点进行区分，学习者可从全局角度厘清思路，提高自身的思维能力.关于其基本特征，创立者东尼·博赞总结如下[3]：①核心在中央图形上;②分支从中央图向四周发散出去;③每一个分支由一个关键的图形或关键词构成，更次要的内容在下一个层次的分支中体现出来;④各个分支形成一个节点结构，表达该分支的意思.因此，我们在绘制思维导图时也应注意上面四点.

二、思维导图应用于数学核心素养的培养

（一）思维导图应用于培养数学核心素养的必要性

数学作为基础性学科之一，其主要的学习目的是训练与培养学习者的数学思维能力，并将其自如地运用在学习乃至生活中，在运用的过程中不断发现创新.数学教育是以理解、探究、解决问题为价值取向，培养与提升学生的数学核心素养.在《普通高中数学课程标准（2017年版）》[4]中，具体提出了：将数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面作为数学学科的核心素养，并且提出了“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力、解决问题能力）的基本课程要求.不仅重视数学的“四基”的教学与“四能”的培养，还指导学生会用数学的眼光看世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界（“三会”）.核心素养强调知识和思维能力，因为只有思维能力才是提升未来人才核心竞争力的关键.如何提升思维能力，这就需要教师把握数学学科的本质，了解学生发展的特性，提高教学技能的水平，在提出问题、分析问题、解决问题、拓展问题一系列的教学活动中达到这一目标.

（二）思维导图应用于数学核心思维培养的优势

（1）思维导图有助于学生建立数学学科知识体系

数学学科具有其特殊性，是一门思维性、逻辑性较强的学科，高度抽象、逻辑严密、环环相扣是其显著特点.数学知识的学习过程呈螺旋式上升结构，新知识点的学习需要已经掌握的知识作为基础，而思维导图恰恰可以帮助学生建构数学学科知识体系，学生可以从一个核心概念入手，发挥自己的思维，将各个相关的知识点紧密联系在一起，以图式的方式厘清所有知识点，使学生加深对知识点的认识与理解，摆脱固有的学习套路，增强学习兴趣，在脑海中建立起完整有序的数学学科知识体系，进而促进学生学习，提高学生学习效率.

（2）思维导图有助于学生逻辑思维与发散思维相结合

数学学科知识是抽象的，学生在学习过程中，对那些抽象烦琐的数字和概念往往很难理解，并不能将已掌握的知识与新知识联系起来，形成一套完整的知识体系.教师引导学生绘制思维导图，从学生角度来看，学生可跳出固有的思维定式，可从一个知识点发散到各种相关的知识点，在整个过程中，学生也达到了逻辑性和发散性的统一，从而对学生数学核心素养的培养提供了一定的帮助.

三、教学片段设计

新课教学在教学过程中是个重要的环节，也有许多教学理论都在探讨如何教授一个新知识点，能够使学生达到预期的教学目标，提高教学质量.思维导图生动形象，图文并茂，将一长串枯燥的数学知识点变成彩色的、容易记忆的、有高度组织性的图画.下面笔者以苏教版必修4第1章1，2，3小节“三角函数的诱导公式”为例，具体阐释如何依托思维导图，引导学生数学思维的养成，培养学生的数学核心素质.

问题1：求值：

（1）cos390°;（2）sin 150°;（3）sin 7π6;（4）tan-π6.

图1解：（1）cos 390°=cos（360°+30°），发现与30°角的终边相同，且30°角在第一象限，因此cos 390°=cos 30°=32.

（2）sin 150°=sin（180°-30°）.画出单位圆如图1，发现30°角与150°角的终边关于y轴对称，点P与点Q的纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此sin 150°=sin 30°=12.

（3）sin 7π6=sinπ+π6.由于7π6与π6的终边在同一条直线上，且7π6在第三象限，而第三象限的正弦值为负，故sin 7π6=-sin π6=-12.

图2（4）tan-π6.画出单位圆如图2，发现-π6与π6的终边关于x轴对称，点A与点B的横坐标相同，纵坐标互为相反数，

所以sin π6=-sin-π6，cos π6=cos-π6，

tan-π6=sin-π6[]cos-π6=-sin π6[]cos π6=-3[]3=-tan π6.

设计意图：学生将问题转化为已学过的知识，利用已有知识解决新问题，增强学生对新旧知识的关联与反思能力.

问题2：在解决问题1中，有什么萌生的想法？

探求：①-α→α②α+2kπ→α（k∈Z）

③π+α→α

④π-α→α

设计意图：从问题1中我们可以发现，对于正弦、余弦、正切来说，存在以上4种诱导变化，那么它们的诱导变化究竟是怎样的，则需要同学们一起去探索发现.提出问题，让学生通过刚才做的题目，发散其思维，找出诱导关系，并证明其诱导关系的正确性.

问题3：你打算如何推导出下列三组角之间的三角函数关系？（问题2中的①③④）

解：由②α+2kπ→α（k∈Z）出发，这是问题1中的（1）求cos 390°的值的具体体现.由之前学过的三角函数定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等（390°是由30°的角逆时针旋转360°得来的，故两者终边相同），即有cos α=cos（α+2kπ）（k∈Z），

sin α=sin（α+2kπ）（k∈Z）.又因为tan α=sin αcos α，则：

tan α=tan（α+2kπ）（k∈Z）.

首先推導① -α→α，

可以看到这是问题1中（4）求tan-π6值的特殊表现.那么我们可以将-π6扩大为普通的一个角α（由于我们一般多将α设定为锐角，所以在这里我们假定α为锐角），根据三角函数的定义得：

点P1（cos α，sin α），点P2（cos（-α），sin（-α））（如图3），由于P1，P2关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，则有：

cos α=cos（-α），

sin α=-sin（-α）.

又因为tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（-α）.

接着推导③π+α→α，

可以看到这是问题1中（3）求sin 7π6 值的特殊表现.同理我们可以将其看成一个普通的角α，来探求这其中的三角函数关系.

点P1（cos α，sin α），点P4（cos（π+α），sin（π+α））（如图3），由于P1，P4关于原点对称，则横坐标、纵坐标都互为相反数.则有：

cos α=-cos（π+α），

sin α=-sin（π+α）.

又因为tan α=sin αcos α，所以

tan α=tan（π+α）.

最后推导④π-α→α，

可以看到这是问题1中（2）求sin 150°值的特殊表现.同理：

点P1（cos α，sin α），点P3（cos（π-α），sin（π-α））（如图3），由于P1，P3关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同.则有：

cos α=-cos（π-α），

sin α=sin（π-α），

又因为tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（π-α）.

图3

设计意图：从问题1到问题3，从特殊具体的三角函数到一般抽象的三角函数，一一对应，体现从特殊到一般的数学思想.由单位圆出发，通过一个清晰的图便可看出这四类角的三角函数关系，简洁明了，带领学生分析其推导过程：角的关系→终边关系→终边与单位圆的交点坐标→三角函数关系.一步步推进，体现了数学的逻辑性，发展学生的逻辑思维能力与整体能力，渗透数形结合的数学思想.

思考：是否有更简便的证明方法？（课后思考）

设计意图：关注学生解题方法的多样性，培养学生的发散思维.

在学习完相关理论之后，开始练习，解答例题，将所学的知识灵活运用.

应用1：求值：

（1）sin 19π6; （2）cos 11π4;

（3）tan-1560°;（4）sin-16π3.

解：（1）sin 19π6=sin2π+π+π6=sinπ+π6=-sin π6=-12.

（2）cos 11π4=cos2π+π-π4=cosπ-π4=-cos π4=-22.

（3）tan-1560°=-tan 1560°=-tan1800°-240°=tan 240°=tan 60°=3.

（4）sin-16π3=-sin 16π3=-sin4π+π+π3=-sinπ+π3=sin π3=32.

设计意图：快与准地选取恰当的诱导公式，与问题1进行对比，让学生感受到诱导公式的便捷性，巩固学生刚刚学习的知识，加强知识点与具体题目之间的联系，提高学生的解题能力以及解题的灵活性和变通性.

应用2：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=1-cos x;

（2）f（x）=x-sin x.

解：解决奇偶性问题，首先要回顾之前所学内容，步骤如下：定义域→判断f（x）与f（-x）的关系→得出结论.

对于（1）来说，f（-x）=1-cos（-x），由诱导公式知：cos（-x）=cos x，因此f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数.

对于（2）来说，f（-x）=-x-sin（-x），由诱导公式知：sin（-x）=-sin x，因此f（-x）=-x-（-sin x）=-x+sin x，f（x）=-f（-x），则f（x）为奇函数.

设计意图：由应用2，我们可发现，三角函数的诱导公式不仅仅只用于求三角函数的值上，还可以用来判断函数的奇偶性.“思考·运用”的题目设计让学生了解到数学知识的广泛性，各个知识点存在相通的地方，学生应从整体把握，要具备“学会思考”的能力，这就要求教师在传授知识的过程中也要培养学生解决问题的能力，而学会解题也正是高中数学课程的主要目标之一.

课堂小结：

（1）我们是怎样获得诱导公式的？

（2）如何利用诱导公式？如何将任意角三角函数转化为锐角三角函数？

本节课在学习三角函数的诱导公式时，紧紧围绕单位圆这张图，依托思维导图来建构新知识点，将所要讲授的知识直观地呈现在学生面前，引导他们梳理知识结构，构建一个清晰明了的知识结构框架，对三角函数的诱导公式这一节知识点有全面的认识与把握，在解题过程中可以更快地找到方法.

通过课堂教学，引导学生对之前所学的任意角、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数关系进行一个回顾复习，并以典型的例题作为新知识讲授的载体，渗透数形结合思想、特殊到一般的数学思想，促进他们最终建构与生成如图4所示的三角函数诱导公式思维导图.

第二象限：sin为正sin（π-α）=sin α

cos（π-α）=-cos α

tan（π-α）=-tan α

第三象限：tan为正sin（π+α）=-sin α

cos（π+α）=-cos α

tan（π+α）=tan α

sin（α+2kπ）=sin α（k∈Z）

cos（α+2kπ）=cos α（k∈Z）

tan（α+2kπ）=tan α（k∈Z）

第一象限：全为正

sin（-α）=-sin α

cos（-α）=cos α

tan（-α）=-tan α

第四象限：cos为正

整节课的设计思路是通过问题引入新课，由旧知识引入新知识，利用单位圆清晰地将四种角在图上反映出来，从具体的例子出发，探索一般情况下诱导公式的正确性，认知心理学表明，个体心智的提升可以通过后天大量有目的的练习来完成，并且我们不断更新头脑中的概念和语义，将已有知识和新知识紧密联系，已有知识作为新知识的消化酶，作为新知识的建构基础，在此基础上新知识才能得以建立.因此，设计的例题起到承上启下的作用，一方面与旧知识紧密联系，另一方面也抛出了新知识的学习，并且与练习题相互对应，从而检验公式的学习和应用，最后绘制出三角函数的诱导公式的思维导图，学生参与、体验数学活动，经过独立思考、合作交流、逐渐感悟数学思想，积累数学思维，进而形成和发展学生的数学核心素养.运用思维导图建立数学框架、知识脉络是非常重要的，绘制思维导图时，个体利用已有的脉络和框架，按照知识点的顺序去画，在整理导图分支时，要特别注意各分支之间的关联.我们将思维导图运用在数学复习课中，能改善学生的认知方式，提高学生整合知识的能力，是提高学生解题能力和思维能力的有效手段.

从知识与技能的学习来看，思维导图的绘制需要学生找到关键主题，促使学生深入思考，厘清知识的主干和分支，从而使知识点清晰地展现出来.从学生学习的本质来看，思维导图有助于学生进行思维建构，让学生在思维困顿时利用思维导图，突破思维定式，让思维向纵向深处发展.从教师教学来看，思维导图能把复杂的关系条理化，思维导图作为一种教学工具，可有效克服语言交流的抽象，促使师生、生生之间的交流更加生动有效，提高教师的教学质量与学生的学习质量.

数学教学如何为学生核心素养的发展做出贡献呢？章建跃博士认为：“应以发展学生核心素养为目标指向，以数学知识为载体，以数学概念的内在逻辑为线索，精心选择学习素材，构建学习情境，设计符合学生认知规律、建立目标明确的系列活动，引导学生通过多样化的学习方式掌握数学‘双基，形成思维能力.并在运用数学知识解决问题的过程中，培养创新精神和实践能力，从而实现核心素养的发展目标[5].”理想的数学教学过程应注意以下几个环节：把握数学知识的本质，提出合适的数学问题，启发学生自主思考，鼓励学生相互交流，感悟蕴含的数学思想，提升数学核心素养.因此，数学核心素养的养成是学生日积月累的结果，需要学生和教师共同努力.

【参考文献】

[1]Tony Buzan.The Mind Map Book[M].叶刚，译.北京：中信出版社，2009.

[2]托尼·巴赞.思维导图[M].李新，译.北京：作家出版社，1999：36-40，98-101.

[3]王菠.利用思维导图优化初中数学复习课[D].南京师范大学，2014.

[4]中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5]章建跃.树立课程意识，落实核心素养[J].数学通报，2016（5）：1-4.