抽屉原理在中学数学中的运用

王妍

【摘要】抽屉原理也被称作狄利克雷原理或者被称作鸽巢原理.研究抽屉原理在中学数学中的运用是非常必要的.运用抽屉原理解题的关键在于怎样根据题意构造出抽屉模型和怎样找出符合题目条件的分类方法，只要做好这两点，就能通过简单的方法很快地解决问题.

【关键词】抽屉原理；抽屉原理与中学数学；抽屉原理的运用

抽屉原理也称作鸽巢原理，它是组合数学的一个最基本原理，最早是由德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805—1855）明确地提出来的.在中学数学中，抽屉原理的应用是非常普遍并且灵活多变的，在解决一些看上去很复杂，使人无处下手，却是相当有趣的数学问题时非常好用.

一、抽屉原理的三种形式

抽屉原理1 如果我们把n+k（k≥1）个元素放入到n个抽屉中去，那么我们得到的结论为：至少存在一个抽屉中含有两个或者两个以上的元素.

证明 我们可以利用反证法.假设每个抽屜至多只能放入一个元素，那么n个抽屉至多放入n个元素，而并不是像题设中的那样能放入n+k（k≥1）个.这就和题设有了冲突，所以假设是不可能成立的，所以原命题成立.

抽屉原理2 如果我们把mn+k（k≥1）个元素放入到n个抽屉当中去，那么我们得到的结论就是：至少有那么一个抽屉中会含有m+1个或m+1个以上的元素.

证明 我们利用反证法去解决问题.假设每个抽屉当中至多放入了m个元素，那么我们就可以知道n个抽屉当中至多放入了mn个元素.而不是题设中的mn+k（k≥1）个元素.这就和题设有了冲突，所以假设是不成立，即原命题成立.

抽屉原理3 如果我们把无限多个元素放入到有限多个抽屉当中去呢，那么我们就会知道：至少有一个抽屉中会含有无限多个元素.

证明 我们利用反证的方法.将无限多个元素放入到有限个抽屉当中去；假设这有限个抽屉当中的元素是有限多个的，那么我们就会知道：将有限多个有限元素相加起来，所得的元素的个数必定是有限数的.这就和题设有了冲突，所以假设不成立，即原命题成立.

二、抽屉原理在中学数学中的应用

（一）直接构造抽屉

例1 证明：367个人中至少有两个人的生日相同.

分析 平年是365天，闰年是366天.因题中未说明是平年还是闰年，我们可以将一年视为366天.人的生日是一年中的某一天，已知有367人，要说明至少有两个人的生日相同，就必须构造少于367个人的抽屉.因此，可以把每一天看作抽屉，而把367人的生日看作元素.

证明 将一年中的367天视为367个抽屉，368个人的生日看作368（367+1）个元素，把368个人的生日放入367个抽屉，根据抽屉原理1，我们就可以轻易地知道：至少有两人的生日是相同.

（二）分组构造抽屉

如果题目中有明显的取出或放入元素，但需要构造抽屉，可根据问题中的信息进行分组构造抽屉.

例1 从正整数1，2，3，4一直到200中，任取101个数，求证：一定存在两个数；其中一个是另一个的整数倍.

分析 问题是要求两个数中的一个是另一个的整数倍，一个自然的想法是从数的质因数表示形式进行分组，每组中任意两个数都存在整数倍的关系.我们把这样的两个数放到我们构建的100个抽屉当中去.

证明 如下构造100个抽屉，其中每个抽屉里，任意两个数都满足一个是另一个的整数倍：

第1个抽屉：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26，1×27；

第2个抽屉：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，3×26；

第3个抽屉：5，5×2，5×22，5×23，5×24，5×25；

第4个抽屉：7，7×2，7×22，7×24；

……

第49个抽屉：99，99×2；

第50个抽屉：101；

……

第99个抽屉：197；

第100个抽屉：199.

那么我们就可以根据抽屉原理1得出结论：随意取出101个数中，必然会有两个数同属于一个抽屉，其中一个数是另一个数的整数倍.

所以结论就是不超过18.

（三）按剩余类构造抽屉

我们知道，把所有整数按照除以某个正整数m的余数分为m类，叫作m的剩余类，用[0]，[1][2]，…，[m-1]表示.每一类含有无穷多个数，例如，[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，…，每一个整数必包含在而且仅包含在上述一类中.在研究与整数有关的问题时，常常用某数（如，倍数）的剩余类作为抽屉.

例3 证明：任意取出5个整数，必定会有3个数做和是3的整数倍.

分析 这里提到的3的倍数，用3的剩余类构造抽屉，任意取出的5个整数便是元素.

证明 以3的剩余类[0]，[1]，[2]构造三个抽屉，任意取出的5个整数放入3个抽屉有以下情况：

（1）如果有5个整数放入了大小完全相同的同一个抽屉，即这5个数被3除余数相同，那么其中任意3个数的和都能被3整除；

（2）如果5个整数放入其中的大小完全相同的两个抽屉，即被3除余数只属于其中的两类，因为5=2×2+1，根据抽屉原理2，总有3个整数在同一类，即它们被3除余数相同，那么这3个数的和也能被3整除；

（3）如果5个整数分布在大小与规格完全相同的3个抽屉里，即3个抽屉不空，那么从3个剩余类[0]，[1]，[2]中各取一个数，这3个数的和也能被3整除.

所以任意5个整数当中，必定会有3个数做和是3的整数倍.

【参考文献】

[1]赵晶.抽屉原理及其应用[J].科学论坛，2008（3）：42.

[2]陈景林，阎满富.组合数学与图论[M].北京：中国铁道出版社，2000.

[3]肖美英.抽屉原理及其应用[J].晋中学院学报，2002（3）：203-204.

[4]徐建辉.例谈如何构造“抽屉”[J].荆楚学刊，2005（5）：90-91.