初高中函数概念的区别和联系

马千云

【摘要】函数贯穿整个中学数学体系，甚至为中学数学的一条主线.因此，对于函数的学习与把握十分重要.函数概念是学生对函数本质理解的第一步也是最重要的一步，因此，要想学好数学就要打好函数定义的基础，函数在高考及中考中所占的百分比也是相当之大，因此，本文针对初高中对函数的定义做了一些比较及联系的分析.

【关键词】初高中；函数；区别

二、初中阶段

在常量及变量的基础上，我们对于函数下的定义为传统法.（定义1）此种定义法为函数的传统定义法（变量法），以平面坐标系及实数为基础，具体研究了初中所学的正比例函数及图像，反比例函数及图像，二次函数图像及性质.

函数的传统定义法内容比较形象直观，适于表达定义在某个区间上且给出解析式进而有算法可循的连续函数.初中生理解起来比较容易接受，但也是最基础最根本的.

三、高中阶段

对于y=1这样的函数只含有一个未知数且始终为1，y=sinx2+cosx2，x∈R，无论x怎么变化y的值始终为1不符合初中两个变量的要求，利用初中所学的知识很难判断这个等式是否为函数，因此，结合初中函数的概念及高中集合及对应两个基础概念之上，把函数定义为对应法，使函数定义更广泛.

高中在集合及对应这两个基本概念基础上对函数定义（定义2），既与之前集合概念有相似之处，又使函数定义不模糊，清晰明了且适用的范围较广.此种定义法有利于研究函数的精确性质并且这种定义方法摆脱了中学定义中“变量”这一个不确定名词，抓住了函数一一对应这一核心名词.因此，高中的函数概念更适合于高中的学习与研究.

同时引进了映射的概念，把函数定义为特殊的映射使学生进一步了解函数的本质（定义2′），这样也纠正了学生把函数理解为函数只是解析式的思想，避免了学生对函数理解的表面性和主观性.

而定义3这一定义虽然比较抽象，但它只涉及“集合”这一概念确实便于接受，但是这一定义过于形式不具体，没有函数解析式，也没提到一一对应，因此，对于初学者来说是很不容易掌握的.

四、初高中函数定义的区别

初中函数定义强调变量之间的关系，强调一个变量随着另一个量的变化而变化，而高中对于函数的定义是在映射概念的基础上进行定义及理解的.同时结合高中第一单元集合的概念更有利于学生的理解和对集合的充分运用及对函数更好的理解.

初中主要研究的函数为一次函数、二次函数、反比例函数及其图像.而高中主要研究基本初等函数指数函数、对数函数、幂函数及其图像、性质.

初中阶段只要求学生掌握什么是函数，会求函数的解析式及简单的函数的应用，而高中涉及要求学生会求定义域、值域以及之后接触的反函数，由这一观点可以看出相对于初中，高中对学生理解函数的要求更高、更多.

函数的概念教学是有阶段性的，学生对于函数的理解也是有阶段性的，都是从具体到一般、从模糊到具体.在初中阶段学生可能只认为有解析式的就是函数，有图像的就是函数，而高中对于函数的概念借助映射的定义更好理解，虽然相对于初中，高中对函数的定义较抽象，但是更符合学生的认知，映射使一一对应更广泛不仅仅局限于数集.

五、初高中函数定义的联系

第一，初高中函数应用上都用到了数形结合的思想，在初高中研究函数经常用到的方法就是数形结合，通过对图像的分析及研究来研究函数的相关性质，通过图像能够清晰明了地理解函数的概念及函数概念中强调的一一对应的关系.

第二，学过初中函数的定义也能够更好地理解高中函数定义中强调的一一对应关系.高中将初中自变量、因变量的取值范围分别定义为定义域及值域.使得自变量、因变量的取值范围不那么抽象，能够更好地理解定义域及值域.

第三，两种阶段函数定义的选取都符合当时学生的认知.初中阶段学生的抽象逻辑思维形成但是处于经验型，刚开始理解抽象概念的本质，因此，初中阶段对于函数的定义更接近学生的认知.而高中阶段学生能够全面深刻地了解事物的细节、可以轻松抓住抽象概念的本质、概括能力增强、对于抽象事物的理解更上升了一个层次，因此，高中阶段对于函数的定义更符合高中学生的认知.

【参考文献】

[1]章建跃.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

[2]任明俊，汪曉勤.中学生对函数概念的理解—历史相似性初探[J].数学教育学报，2007（4）：84.

[3]詹国梁.中学数学中的函数定义及其教学[J].苏州教育学院学报，1996（3）：13-15.