应用几何画板优化中学代数课堂教学

张天群 齐改娣 穆鑫

【摘要】本文主要说明几何画板在代数中函数图像与性质的课堂探究教学的优化，几何画板优化课堂教学的类型及结构和几何画板中的参数建立及控制.

【关键词】几何画板；动态绘图；数学实验

代数是中学数学重要组成部分.函数是代数核心主线，本文主要介绍几何画板软件在函数教学中的优化方法.几何画板不仅是一个数学教学工具，同时也可以用来做数学实验，探索一些数学现象，或得到一些数学猜想.

一、基本函数图像的绘制

在传统教学中教师还是更多的画静态函数图像，这样随意性大，不利重现，视野狭窄，学生很难从特殊的有限的情况理解图像的性质.但是，利用几何画板可以直接绘制任意给出表达式的函数图像且巧绘一类函数图像.基本流程：建立参数—建立基于参数的函数—生成动态函数图像—改变参数动态研究函数性质.其优点是基于参数的动态函数图像有利于相关函数性质的获得.

案例1改变参数a的值，可以理解指数函数a的要求且能得到指數函数的性质.

二、在动态中探究函数的性质

几何画板在优化代数课堂教学方面通过建立与教学有关的情境，将学生带入新知准备状态，满足不同认知风格，强化理解表达，增强体验和互动，形成集体记忆.

案例2观察并抽象出函数y=Asin（ωx+φ）+B的图像与性质.

1.学生利用几何画板，画出函数y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的图像.

2.通过动态绘图功能，通过小组分工，利用控制变量法，观察参数对函数图像的影响，即控制三个变量，拖动参数使其变化，引导学生观察A，ω，φ，B对图像的影响.

3.在电脑图形的不断变化、学生之间的互相讨论、教师的点拨指导中，归纳总结自己的知识体系，构建图像变换的有关知识.结合大胆猜想，主动探究，直观感知参数对图像的影响，从而找到其与正弦曲线的关系.

三、运算的可视化及其应用

在课堂讲评中，常需配图，手工作图快则不准，准则不快.怎样又快又准，在动态图形中发现更多规律？

案例3已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

分析教师可以先让学生通过建立参数作出函数图像，改变a的值观察函数图像及其导函数图像，引导学生找到这道题的做题思路，这样比传统教学效果会更好.

在传统教学中函数的单调性与导数、函数的极值与导数这部分内容学生很难理解，好多教师为了应试直接讲结论，结果缺乏定理性质的生成过程，给学生的学习带来了很大的困难.怎样利用几何画板优化课堂教学呢？

我们可以循序渐进，首先，研究具体三次函数，其次，研究一般的三次函数.可以由学生利用几何画板操作生成、演示，通过动态计算功能，绘制函数、导函数图像，研究函数图像与其导函数图像之间的联系，可以总结函数、导函数、零点、单调区间、极值之间的关系.最后，总结到一般的函数.这样给学生提供一个充分探究的环境，在生成过程中多花时间，让学生多观察、多理解、多体会，这样效果会更好.

案例4

环节一：具体三次函数的导数、导函数、零点、单调区间、极值之间的关系.

让学生操作：用几何画板的绘图绘制新函数f（x）=x3-x2-x+5的图像，然后右键单击几何画板上f（x）=x3-x2-x+5文本框，选择定义导数，可以建立f′（x）的图像且是导函数图像，作出f′（x）与x轴的交点.让小组讨论，展示：

1.f（x）的单调性与f′（x）的正负之间的关系；

2.f（x）的极值点的导数及在这个点导数的符号有什么规律.

环节二：利用导数研究一般三次函数的性质.

学生操作新建四个参数a，b，c，d，使其绘制可控制的动态函数f（x）=ax3+bx2+cx+d图形、右键单击几何画板上f（x）=ax3+bx2+cx+d文本框，选择定义导数，可以建立f′（x）的图像且是导函数图像，作出f′（x）与x轴的交点，求出其零点，借助几何画板，学习小组改变变量，对三次函数图像特征进行探索，让小组讨论：

1.何时f（x）为单调函数，发现函数的单调区间、极值点与导函数f′（x）零点之间的关系.

2.变化f（x）的参数，观察函数图像，可以发现三次函数图像为中心对称图形，对称中心的横坐标与导函数极值点横坐标相关.

环节三：利用三次函数推广到任意函数、导函数、零点、单调区间、极值之间的关系.

四、几何画板与代数教学优化的课堂形式及结构

几何画板与数学教学有效整合的课堂教学的基本形式，可分为3种类型：知识讲解型、构建型、推理演算型.

1.知识讲解型.根据教学内容设计几何画板课件，通过几何画板用动画呈现概念或知识的演变过程，可以培养学生从特殊到一般，数形结合的能力.

2.构建型.提供思维支架，丰富思维训练，增强体验与互动，丰富练习机会.

3.推理演算型.利用几何画板开展研究性学习，来揭示某一数学问题的产生、发展和变化的过程，化静为动，使过程直观化，化难为易，使抽象问题具体化.

优化课堂教学结构包括5个环节：① 提供情境，引起关注；② 观察操作；③ 加强学生的体验与互动；④ 系统归纳呈现逻辑；⑤ 反馈调节，形成集体记忆.

五、几何画板应用的原则

1.实效的原则：教学目标的达成为关键，通过几何画板展示数学公式、定理及函数表达式的内涵，使学生领悟数学本质.利用几何画板可以实现言传、意会、眼观的综合效果，化抽象为直观.

2.适宜的原则：找准运用信息技术解决教学问题的契合点，应该在恰当的时刻以恰当的形式出现，要让几何画板成为学生重要的认知工具.

3.辅助性原则：学生始终是主体，应注重设计学生的有效活动，应考虑每一名学生的发展，体现学生的主体地位.

4.适度的原则：生成与预设在于可以即时验证想法，但是问题的证明还需要使用解析法，教师要将传统方法与几何画板相结合.

五、几何画板中的参数建立及控制

几何画板中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值，它的建立不依靠具体的对象.使用参数可以进行计算、构造可控制的动态图形、建立动态的函数解析式、控制图形的变换、控制对象的颜色变化.

1.新建参数有两种方法：通过图表—新建参数：通过度量—计算—数值下拉菜单—新建参数.

2.参数的控制：

（1）选中工作区中的参数—按小键盘上的“+”或“-”键.

（2）双击工作区中的参数—编辑参数值.

（3）选中参数—编辑—操作类按钮—动画—运动参数的属性对话框.

（4）选中参数—显示—显示运动控制台.

用几何画板优化代数课堂教学，要以课堂教学为主线，以优化教育教学方式和关键环节为重点，以改善教育教学行为为目的，将几何画板与实践应用相结合，促进其与教育教学深度融合.

【参考文献】

[1]张天群，齐改娣.几何画板与中学数学教学的有效整合[J].数学学习与研究，2016（11）：91-93.

[2]伍春兰.基于“几何画板”的中学数学课堂“探究学习”的实践与探索[J].北京教育学院学报，2004（4）：69-75.endprint