基本不等式的变式教学

李伟

【摘要】基本不等式是高考的必考内容，然而在实际教学中，很多学生对基本不等式的理解和应用上存在偏差.基本不等式的变式教学有利于学生逐步掌握基本不等式及其本质.

【关键词】基本不等式；变式教学

笔者在高三普通班的教学工作中发现，很多学生在利用基本不等式求值域、最值时，往往只关注形式上的满足，而忽视符号和等号成立条件的满足.鉴于此，笔者在基本不等式的应用教学中采取变式教学的方法，从易到难，从简到繁，为学生铺设思维阶梯，让学生看清問题的本质，从而掌握基本不等式.

教材原题x>0，当x取什么值时，x+1x的值最小？最小值是多少？

先给学生几分钟时间解答本题，然后请学生到黑板书写解题过程，全班同学纠错，最后教师给出如下解答过程：

解由x>0和基本不等式得x+1x≥2，

等号当且仅当x=1x时成立，此时x=1.

因此，当x=1时，x+1x的值最小，最小值是2.

高考题目一般是将基础题型通过变换条件、开放条件、变换视觉等手段进行变式.本题包含了基本不等式的三个重要条件，x>0（一正）、x·1x为定值（二定）、等号成立条件（三相等），作为变式母题很合理.

变式一x<0，当x取什么值时，x+1x的值最大？最大值是多少？

学生独立思考完成，教师在讲解时故意错解变式一，即忽略“一正”这一重要的前提，从而推出矛盾.变式一利用制造问题陷阱的方式，引起学生对基本不等式前提条件的注意.

变式二x≥32，当x取什么值时，x+1x的值最小？最小值是多少？

利用基本不等式解决变式二时，“一正、二定”均满足，但由于“三相等”的不满足，会让学生得出“x+1x没有最小值”的错误结论.变式二说明基本不等式中三个条件的重要性，同时也让学生看到基本不等式在解题中存在着局限性，激发学生的求知欲.

变式三x≠0，x+1x是否存在最值？若存在，求其最值；若不存在，说明理由.

变式三是教材原题和变式一的综合体，旨在让学生准确应用基本不等式的三个条件，并体会分类讨论的重要数学思想.借此，介绍对勾函数f（x）=ax+bx（a>0，b>0）及简单性质，利用函数的思想来说明.教师让学生课后自主探究“能用基本不等式解决的问题，是否都可以用函数的思想来解决”，并解决变式二.

变式四x≥52，求函数f（x）=x2-4x+52x-4的最小值.

函数y=f（x）经变形得f（x）=12（x-2）+12（x-2），不难看出变式四和教材原题属于同种题型，但变式四需要先对函数进行必要的处理.变式四主要强调利用基本不等式求值域、最值的关键是获得定值条件，即“二定”.

变式五x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

获得定值条件是解题的关键，因此利用变式五引出获得定值条件的方法.运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法可创造应用基本不等式的条件.

变式六0

教材原题和以上所有变式都是积为定值，会让学生认为只能积为定值.变式六提醒学生，基本不等式定值中的“二定”可以是积为定值，也可以是和为定值.既发散了学生的思维，又拓展了知识的深度.

变式七求函数f（x）=x2+3x2+2的最小值.

函数变形后得f（x）=x2+2+1x2+2，“一正、二定”都符合，由于“三相等”不满足，导致基本不等式出现错解.变式七能说明利用基本不等式求值域、最值时，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.当三个条件不能同时满足时，需要转换思维，寻求其他解决方法.

本文通过对一道教材原题、七道变式题的讲解和对勾函数的补充，让学生从本质上认识题目，加深了对基本不等式的理解和应用.同时，采取变式教学的方法，对题目进行变式发散，不仅拓展了数学知识的深度，也拓展了学生的思路，培养了学生思维的严密性、深刻性和灵活性，加强了学生对基础知识和基本技能的理解.