由一道易错题引起的教学反思

刘罗敏

【摘要】函数的单调性是函数的基本性质之一，对单调性的考查贯穿了整个高中数学.教师要经常进行教学反思，及时处理学生的反馈，订正教学设计，使教学更有预见性、针对性.

【关键词】单调性；学生反馈；教学反思

在我校高一年级期末考试中，出现了一道数学选择题，据统计，这道题整个高一年级（约1 200名学生）的正确率仅为1.3%！这触目惊心的数字带给我们的不应该是对学生的责备，而是教师对自己教学的反思.

易错题若f（x）=（6-a）x-4a，x<1，logax，x≥1 是R上的增函数，则a的取值范围是（）.

A.65，6

B.65，6

C.（1，6）

D.（6，+∞）

这道题看似简单，实则极容易出错.笔者参加工作已有数年时间，回想起当时高一的教学情境，总结出该题错误率如此高的原因：

（1）我校是云南升县区的一所一级三等高中，高一新生大部分文化成绩并不突出，基础不扎实，没有良好的学习习惯，思维水平、理解能力还停留在初中的阶段，还未适应高中繁重、高难度高的学习.

（2）“单调性”对于高一学生来说本就是一个陌生的、抽象的概念，教材把“单调性”的教学设置在必修1第一章第3节（人教A版）.在这之前，学生接触过的高中知识仅有“集合”“函数及其表示”，理解不了“单调性”很正常.

（3）教师对“单调性”这一新概念的教学不到位，只是照本宣科，没有预见到学生在这一知识点可能会出现的问题，从而有针对性地进行教学.

（4）教师没有对基本初等函数的性质进行总结.教材必修1上所列的基本初等函数只有指、对、幂三种函数，很多学生误以为基本初等函数只有这3个，遇到其他函数就无从下手.

（5）学生的知识储备不够.如何用不等式来表示函数的单调性？如何求不等式的公共解？如何把不等式表示成区间？每个知识点都环环相扣、缺一不可.

这道易错题其实是一个很好的反馈，是一个高价值题目.下面给出笔者对这道题的利用（实为错题后的一次总结课）.

一、对已学基本初等函数及其单调性的总结（表格由学生填写）

函数解析式图像影响单调性的因素

一次函数

反比例函数

二次函数

指数函数

对数函数

幂函数

二、对“函数单调性”的再理解

单调性的概念（略）对于高一新生来说，非常难理解，这就要求教师能够具体化、有预见性、针对性地解释这个概念.

（一）关于概念中关键字的几点理解

增函数：增区间上所有的自变量都有x1

减函数：减区间上所有的自变量都有x1f（x2），即自变量增加其函数值反而减小，自变量减小其函数值反而增加，自变量的变化趋势与其函数值的变化趋势相反.

简言之，同步增，反步减.

（二）单调性在图像上的体现

根据上述理解，将单调性反映在图像上一定有如下规律：增函数的图像从左到右一直是上升的，减函数的图像从左到右一直是下降的.

（三）关于分段函数的单调性

分段函数也是函数的一种，它的单调性同样遵循上述原则.

为了更形象地理解分段函数的单调性，设置如下例题.

例请同学们分析下列分段函数的单调性.

（1）

（2）

（3）

（在這个例子中，学生的答案会是个很好的反馈，分析过程略.）

（四）现在来解决本文开始给出的易错题

若要f（x）在R上单调递增，显然各段都要递增.是否还有其他限制？

因为y=logax（x≥1）恒过（1，0），f（x）的图像有①②③三种情况，只有②③两种才符合f（x）的图像从左至右一直上升.要怎样用数学式子表示②③两种情况？

事实上，只要y=（6-a）x-4a（x<1）在x=1的函数值小于等于y=logax（x≥1）在x=1的函数值即可.

满足题意的不等式组为6-a>0，a>1，（6-a）×1≤loga1，

解得65≤a<6，表示成区间为65，6.

教学从来都不是一蹴而就的事情，必须反复反思、订正、完善，才能事半功倍.须知，教师的“教”不是一件简单的事，学生的“学”也不是一件难事.只要教师“万事俱备”，学生才能“扶摇而上”！