从学生思维最近发展区启发学生的解题思维

吴正春

【摘要】数学是一门抽象性和复杂性较强的学科，学生在解决数学问题时需要具有开放性的数学思维.本文将对从学生思维最近发展区启发学生的解题思维进行探讨.

【关键词】思维最近发展区；解题思维；数学

教学生解题是教师的分内事，可如何使学生解好题，会解题，这也是教师们所要追求的.从学生的思维最近发展区去启发学生的解题思维不失为一个有效的方法，现把我一节解题课的部分环节介绍给大家，望得到大家的赐教.

例已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点P（3，1）其左、右焦点分别为F1，F2，且F1P·F2P=-6.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由.

一段时间过后椭圆E的方程基本上学生能求对x218+y22=1.对于第二问却不知怎么办.

对此我抓住学生原有的知识生长点，以此铺垫一步一步地启发与提示，获得此类问题的一个大致解题模式.

学生熟悉直线过定点的问题：如，y=kx+1这条动直线是否过定点？学生几乎全知道过定点（0，1）.问：为什么知道过定点（0，1）？学生们的回答是令x=0，算出y=1，所以过（0，1）点.再问：为什么想到令x=0？就没有学生回答上来了.

学生回答不上来，估计理由有两点：一是没有明白“y=kx+1是否过定点”是什么意思；二是令x=0的根据是什么？解决好了这两个问题，估计例题的解题思路也就有个七八成了.

先解释“y=kx+1是否过定点”是何意.

若动直线y=kx+1过定点的话，意思就是说k取每一个不同的值，y=kx+1就代表一条不同的直线.如果这无数直线都过同一个点的话，我们就认为动直线y=kx+1过定点.

怎样求y=kx+1过的定点呢？根据上面的解释，当k=k1时，y=k1x+1过此定点；当k=k2时，y=k2x+1也过此定点.所以，定点即为直线y=k1x+1与y=k2x+1的交点.因此，只需任取k的两个值，求这两条直线的交点即可.不妨设k1=1，k2=2，由y=x+1，y=2x+1， 解得x=0，y=1. 又∵（0，1）坐标符合方程y=kx+1，∴定点为（0，1）.

学生能理解，但上述的解法不便模式化.换种方式解释“y=kx+1是否过定点”.若y=kx+1过定点（x0，y0），不就是说y0=kx0+1对k∈R都成立吗？不就是说关于k的方程x0k=y0-1有无数多个解吗？

初一时，学生们就讨论过方程ax=b的解答.再次强化学生们已有的思维生长点：（1）当a≠0时，方程有唯一解：x=ba；（2）当a=0，b≠0时，方程无解；（3）当a=0，b=0时，方程有无数多个解.

同学们，你们知道关于k的方程x0k=y0-1什么时候有无数多个解吗？

当x0=0，y0-1=0， 即x0=0，y0=1 时，方程有无数多个解.

∴定点就是（0，1）.

现在知道当初为什么令x=0的理由了吗？

其实，若直线y=kx+1过定点，意味着关于k的方程xk=y-1有无数多个解.令x=0，y-1=0 x=0，y=1 定点即可求出.

从学生思维的最近发展区出发，激发学生思维的生长点.一步一个台阶，顺藤摸瓜，学生自然会找到解题的切入点.回到本例：

师：有哪名同学能说说你的想法吗？

过了好长的时间，有学生站起.

生A：想把圆C的含有参数的方程写出来，然后寻求关于这个参数的方程是否具备无数多个解的条件.如果具备，则圆过定点，如果不具备，则圆不过定点.

师：你能再重复一遍的你想法吗？说慢一点，看同学是否有异议.

基本无异议后，教师又问：谁会写出圆C的方程？

生B：设M（5，m），N（5，n），则圆C的方程为：（x-5）2+y-m+n22=m-n42.

有两个参数，关于哪个参数的方程有无数多个解呢？学生又不会了.

师：你能消去一个参数吗？m与F1M⊥F2Nmn=-9之间有依赖关系吗？还有条件没有用吗？

生C：有.由F1M⊥F2Nmn=-9.

师：现在消去一个参数，理论上可行.想想消去一个参数后方程可能有些复杂.在mn=-9的條件下，方程可以化简为……

生D：（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0.

师：这些圆是否过定点，谁能用自然语言描述一下其思考方向.

生E：在mn=-9的前提下，不论m，n取何值，上式表示的圆均过同样的点，这样就表示动圆过定点.

师：再想想，往上面所说过的话上想，再说说.

生E：即关于（m+n）的方程y（m+n）=（x-5）2+y2-9是否具备有无数多个解的条件？

令y=0，（x-5）2+y2-9=0 x=8，y=0 或x=2，y=0.

∴圆过定点（8，0）和（2，0）.

本节课尽管只讲了两道题（讲此题前讲了一题）复习的效率看似低了一些，但内心很高兴，学生们差不多都会了这种题的解题思路.学生们的数学基础不是很好，这就要求教师还要更多地去了解学生，了解初中数学课程，做到今后的分析和讲解能更贴近学生的思维最近发展区.

【参考文献】

[1]姜洁.浅析中学生数学解题思维能力的提升[J].新教育时代电子杂志，2016（4）：38.

[2]吴带春.从学生思维最近发展区启发学生的解题思维[J].读写算，2015（11）：49.endprint