长方体内有乾坤

王园静+钟彩容

【摘要】解决某些代数问题时，可根据所给代数形式上的特点，构造出一个适合题意的几何图形，比如，长方体.再赋予代数式中的数与字母一定的几何意义，利用几何图形解代数问题.

【关键词】代数问题几何化；长方体模型

例1若x≥y≥z≥1，且xyz=4，则（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2的取值范围是.

分析设log2x=a，log2y=b，log2z=c，则有log2xyz=log2x+log2y+log2z=2.则可理解题意为：已知a≥b≥c≥0，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范围.如图1所示，在棱长为2的正方体中建立空间直角坐标系D-abc.题目所求可转化为：三角形平面区域A′BD内一点到原点A（0，0，0）的距离d的平方，则AG≤d≤AB，

而A到面A′BD的最短距离为AG=43，AB=2，故（log2x）2+（log2y）2+（log2z）2=d2∈43，4.正方体作为特殊的长方体，其长、宽、高都相等，并且同一顶点上的三条棱具有两两垂直的特殊位置关系.例1应用以上正方体的性质将求代数式范围的问题转化为求正方体中顶点到某个平面距离的最值问题，使得所要解决的问题具体化、形象化.

例2已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=1，求证1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

分析由题目已知条件形式会联想到长方体长、宽、高的平方和等于长方体对角线的平方，因此，根据题意构造一个长方体ABCD-A′B′C′D′（如图2所示）.使AA′=a，A′B′=b，A′D′=c.

由a2+b2+c2=1得AC′=1，因而，AB′=1-c2，AD′=1-b2，A′C′=1-a2.在△AB′C′中，AB′+B′C′>AC′，即1-c2+c>1①.同理可得出1-a2+a>1②，1-b2+b>1③.將①②③式相加即得：1-a2+1-b2+1-c2>3-（a+b+c）.

例3已知α，β，γ均为锐角，且满足cos2α+cos2β+cos2γ-1=0，求证cotα·cotβ·cotγ≤24.

分析由已知条件有：cos2α+cos2β+cos2γ=1，同样此形式也很容易会联想到长方体对角线与三条棱的夹角恰好满足此关系式.因此，构造长方体ABCD-A′B′C′D′（如图3所示），使得AC′与棱C′D′，B′C′，CC′的夹角分别为α，β，γ，且满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，令A′B′=a，A′D′=b，AA′=c.则cotα·cotβ·cotγ=ab2+c2·ba2+c2·cb2+a2≤a2bc·b2ac·c2ab=24.

例2、例3都是长方体对角线性质定理的具体应用，由此可以看出，长方体对角线性质定理如果得到了巧妙的应用，可以帮助我们解决许多问题，并且起到事半功倍的作用.endprint