时间:2024-05-08
【摘要】分享一道数学分析课程习题的若干解法,并结合解题过程,阐述了解答一系列相关问题的想法.
【关键词】数学分析;习题课;一题多解;多题一解
【基金项目】成都师范学院校级教改一般项目(2020JG38).
引 言
数学分析课程,即一门引导学生利用极限、微分、积分等概念工具分析函数特性的课程.数学分析是本科数学专业的核心主干课程之一.习题课即引导学生重新分析自己做过的课后习题,发现解题错误与漏洞,并重新给出正确完整解答的环节.与其他本科阶段的数学课程一样,数学分析的习题课教学目的任务集中,但是内容繁多,容易跌入教学效率低、课堂组织松散等困境.为成功“避开”这些教学困境,笔者发现选择一些相关度高的习题(甚至是例题)进行精讲、细讲是一条有效途径.本文旨在分享一系列相关且有极高教学价值的课后习题.这其中最经典的问题是:
讨论数项级数
∑∞n=1(n+2-2n+1+n)(*)
的收敛性.此题为华东师范大学数学系编撰的《数学分析:第四版》的第十二章第1节的课后习题第1题第(4)问.此题形式结构经典但不算复杂,难度适中,大部分学生经过思考能找到解答它的正确思路,能帮助缺乏解题经验的学生积累更多经验,能给解题经验丰富的学生带来“正反馈”.因此,级数(*)具有极高的教学研究价值.本文的结构安排是:先给出判定级数(*)收敛的几种方法,再结合解题过程与教学经验,分享笔者的若干教学思考.
一、判定级数(*)收敛的若干方法
方法1(按级数收敛的定义) 直接计算,可得
SymbolnB@得出级数收敛的结论,此类方法的优点是想法直接朴素,还可顺带看出级数的和,困难之处在于对部分数列而言,它们的部分和数列很难化简,从而很难判断出部分和数列是否发散.
方法2(比较判别法) 经计算,有
n+2-2n+1+n
=1n+2+n+1-1n+1+n=-2(n+n+1)(n+1+n+2)(n+2+n).
借此可进一步得,n+2-2n+1+n<14nn.
因∑∞n=114nn收敛,故由比较判别法,级数(*)绝对收敛(更是收敛).
SymbolnB@得出原级数收敛(发散)的结论.此类方法的困难之处在于找到合适的上界(下界)级数,缺点之一是(收敛的情形下)不能直接看出原级数的和,优点是一旦找到了合适的上界(下界)级数,上界(下界)级数的收敛性(发散性)很容易得到判定.
方法3(比较判别法) 经计算,有n+1-n=1n+1+n,12n+1 且12n+2 故0 因∑∞n=11nn收斂,故由比较判别法,级数(*)绝对收敛(更是收敛). 注3 方法3与方法2本质想法一样,都是比较判别法.与方法2相比,方法3中的代数运算过程简洁,但是不等式放缩技术更加高明.比较这两种方法可以看出,在运用比较判别法讨论级数敛散性的过程中,上界级数或下界级数的选取方法并不唯一.另外,借助不等式放缩 1n-1n+2=1n+21+2n-1<2nn+2<2nn, 得到n+2-2n+1+n<2nn.这些不等式放缩经验实际上具有极大的启发意义. 方法4(比较判别法) 经计算,有 limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=limn→∞2nn(n+n+1)(n+1+n+2)(n+2+n)=14. 因∑∞n=11nn收敛,故由比较判别法(极限版本),级数(*)绝对收敛(更是收敛). SymbolnB@得出原级数的敛散性的结论.方法4与方法2,3有相似的困难,即找到合适的“参考级数”即∑∞n=11nn.方法4的优点之一是,不需要像方法2与3那样,借助巧妙的不等式放缩技术.在运用极限版本的比较判别法讨论级数(*)的敛散性的过程中,还可借助其他方法完成计算极限的环节.例如,借助Taylor公式,可得:当n→∞时, n+2=n1+2n12=n1+1n-12n2+o1n2 =n+1n-12nn+o1nn, n+1=n1+1n12 =n+12n-18nn+o1nn. 借此可得limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=14. 二、总结与解后反思 在上一部分内容中,给出了几种判定级数(*)收敛的方法.从结果可以看出,华东师范大学数学系编撰的《数学分析:第四版》上册的第二章总练习题第1题第(3)问的答案是limn→∞(n+2-2n+1+n).还有一类题与级数(*)紧密相关但关联极其隐蔽.为方便阅读,首先写出下述结论:若函数f(x)在点x0处二阶可微,则limh→0f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)h2=f″(x0).借助这一结论,结合适当的整理变形,可得 n+2-2n+1+n =n+11+1n+1-2+1-1n+1, 进一步可得 limn→∞1+1n+1-2+1-1n+11(n+1)2 =(x)″x=1=-14. 这一结果事实上加深了对级数(*)的认识.另外,通过这些分析还可发现,下册教材第2节课后习题第1题第(9)问,即判定∑∞n=1(a1n+a-1n-2)的敛散性,也与级数(*)紧密相关.本文给出的判定级数(*)收敛的方法对解答上册教材的第二章总练习题第8题第(3)问,即计算数列极限limn→∞[(n+1)α-nα],上册教材第2节课后习题第1题第(4)问,即计算数列极限limn→∞(n2+n-n),上册教材第2节例5,即计算数列极限limn→∞n(n+1-n),都有极大的启发意义. 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析:第四版[M].北京:高等教育出版社,2010. [2]王成强.探究式教学在数学分析复习课的应用[J].贵阳学院学报(自然科学版),2020,15(02):96-99.
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