传染病SIR模型在多层网络上动力学行为分析

曹蓉 唐甜 童细心

【摘要】许多现实世界中的网络都是相互关联和依赖的，如水陆空组成的交通网络和不同群体构成的社会网络等，由此形成具有复杂的拓扑结构和动力学性态的多层次网络，但此类网络上的传染病动力学还缺乏相关研究结果.根据平均场理论提出了一个多层耦合网络上的传染病SIR模型，以刻画传染病在多个种群或社区之间的传播过程.首先给出模型的基本再生数和全局动力学行为，接着分析耦合结构和感染力对传播阈值和疫情的影响.结果表明发病率的相变取决于有网络拓扑结构合传播参数构成的临界值，而相互关联结构更容易造成疫情扩散，且内部接触比交叉接触更容易引起疾病暴发.

【关键词】多层网络;传染病平均场模型; 动力学行为;基本再生数

【基金项目】广西自然科学基金（2017A030313699），汕头职业技术学院2016年院级科研课题（SZK2016Y15）

引 言

随着小世界和无标度性质在众多现实系统和结构中的发现，复杂网络近十多年逐渐变成了一个强大的科学工具，用以描述各种社会、经济、生物等系统的拓扑结构，能更好地拟合异质结构，并更客观地刻画动力学和结构的关联特点.因现实网络并不是单独存在，而是相互依赖，且一个大系统往往蕴含多个层带不同拓扑和功能的网络，由此形成了一类新的复杂系统，即多层耦合网络.这类网络广泛存在于大型系统，如物流网，交通网和社团等，有着广泛的应用背景和研究价值，比如分析路面的交通载量和电网的停电事件.探索多层耦合网络的结构特点和动力学性质是近十年的研究热点，此类网络正在不断地被用于刻画传染病在多种种群如人和动物之间的传播，并获得了一些新的进展，Allard等人利用鍵渗流理论模拟了多层网络上的传染病扩散过程; Funk等人根据物理机制建立了一个叠加网络上的疾病传播的建模方案，Dickison等人通过耦合网络上的传染病SIR模型，发现强耦合会使疾病扩散至整个网络，而弱耦合会出现一个混合相图，使疾病只能在一个子网络上传播.Saumell-Mendiola等人通过多层网络上的平均场模型，子网耦合能使疾病更容易暴发.传染病动力学模型也越来越多地被用于研究网络传播性质，但多层结构和接触模式对传播动力学的影响还缺乏系统分析.本文利用平均场近似在两层网络相互作用的网络上建立一个传染病SIR模型，利用微分方程理论和数值模拟分析模型的动力学性态，建立传染病动力学和层次网络结构的关系.主要回答2个问题：什么条件会引起传染病在层次网络上的暴发？子网内部和之间的耦合方式和节点的接触模型如何影响着传染病的传播和扩散？上述问题的答案有助于更好地认识传染病在多群体之间的传播规律.

一、数学模型

首先根据子系统的耦合关系，给出一个由两个相互依赖的子网络A和B构成的复杂网络，每个子网由一个群体（节点）以及它们的连接（边）构成.不同群体的接触模式的差异性对应两种不同的连接方式，一种表示同一子网内的个体连接（内部连边），另一种表示不同子网之间的个体连接（交叉连边），故每个节点对应两个度.因为群体内部和交叉的连接的异质性和多样性，所以整个网络具有异常复杂的拓扑结构.此网络可以表示多种现实系统，如性接触网络，其中A，B分别表示男性和女性的性接触网络，子网内部连接表示同性接触，交叉连接表示异性接触，如果节点是双性恋，则同时存在内部和交叉连接;也可表示媒介和宿主的接触模式，A表示宿主如人，B表示媒介如动物，交叉连接表示宿主和媒介之间的接触.

二、数学分析

三、数值分析

下面用数值模拟进一步探索传播动力学.对于动物传染病，宿主的接触模式通常具有异质性，而动物的交互作用具有同质性，对应了两种接触网络，随机网络和无标度网络.随机网络类似于均匀网络，其度分布满足泊松特性，而无标度网络是非常不均匀的，其度分布满足无标度特性.设A（B）是子网A（B）的内部接触模式，AB（BA）是子网A连接B（B连接A）的交叉接触模式.所有的图中子网A和B具有相同的节点数.

基本再生数R0和总的感染人数ρA和ρB能反映流行病学的重要性质，图1和图2表明了感染概率和接触模式对它们的影响.由图1和图2可知，在任何的网络结构下感染率的增大都会使得R0和感染规模增大，而无标度结构会使其增加更快.若所有的子网具有相同的结构，则内部感染和交叉感染对R0的作用相等，但若增加内部感染率（λ11或λ22），会导致更大的R0和暴发规模，而交叉感染病（λ12和 λ21）则作用不明显，主要原因是内部感染率有双重反应，感染同一子网的其他节点也可以被其他节点感染，而交叉感染率只有单个方向的作用.

四、结 论

本文建立了一个两层耦合网络上的传播模型，并求解了模型的基本再生数，给出了疫情暴发的条件，并揭示了基本再生数与网络结构合传播参数的关系.结果表明传播阈值受网络的异质性和平均度控制，这与单个网络和二分图网络只受异质性影响不同，说明层次结构对传播动力学的特殊性.另外多层网络具有多个子结构，其中最异质的那个子结构网络对传播起决定作用.特别地，我们发现内部接触比交叉接触更容易导致疾病传播，这也说明了同性恋在性病传播中的关键作用.

【参考文献】

[1]汪小帆，李翔，陈关荣.网络科学导论[M].北京：高等教育出版社，2012.

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