从高考“函数与导数”压轴题看数学学科核心素养

邱婉珠

【摘要】核心素养下的高考对学生的综合素养提出了新的要求，“函数与导数”压轴题是高中数学考查学生综合素养的很好途径.本文将以2016～2019四年高考理科全国Ⅰ卷为例来看高考中“函数与导数”压轴题对数学学科核心素养的考查情况.得出如下结论：函数与导数压轴题主要考查学生的“数学运算”和“逻辑推理”核心素养;高考对函数与导数的“数学运算”“逻辑推理”核心素养的考查要求有下降的趋势.

【关键词】高考;函数与导数;数学运算;逻辑推理

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）以六大数学学科核心素养为主题，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，并且新课标强调数学学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.那么在高考全国卷中对学生关于数学学科核心素养是如何考查的呢？由于全国除了海南采取半自主命题，浙江、上海、江苏、北京、天津采取自主命题外，其余省份陆续于2016年采取全国卷，其中河北、安徽、湖北、福建、湖南、山西、江西、广东、河南、山东从2016年开始采取了全国Ⅰ卷对当地考生进行数学学业质量检测.故本文将从2016～2019近四年高考理科全国Ⅰ卷的“函数与导数”压轴题这一处于高考的重点热点考点为例来看高考对数学学科核心素养的考查，并给出积极教学、提升学生数学学科核心素养的几点总结.

一、数学学科核心素养

数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学学科核心素养既相互独立又相互交融，是一个有机的整体.在高考中“函数与导数”压轴题主要考查学生的“逻辑推理”“数学运算”核心素养，接下来将对这两个数学学科核心素养进行简单的介绍.

（一）“逻辑推理”核心素养的内涵

“逻辑推理”是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类，分别是从特殊到一般的推理，推理形式主要是归纳和类比以及从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎.“逻辑推理”是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.

学生通过高中数学课程的学习，能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络;形成重论〖JP3〗据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.

（二）“数学运算”核心素养的内涵

“数学运算”是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要是对运算对象的理解，对运算法则的掌握，对运算思路的探究，对运算方法的选择，对运算程序的设计以及得出运算结果等.“数学运算”是解决数学问题的基本手段，是演绎推理，用计算机解决问题的基础.

学生通过高中数学课程的学习，能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

二、试题呈现与分析

（一）试题呈现

例1 （2016年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围;

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

本题主要通过分类讨论思想考查函数与导数的不等式等基础知识.第一问主要考查函数与导数的单调性和分类讨论思想，第二问是综合运用数学的知识证明不等式.

例2 （2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

解法 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）的单调性;

本题是对导数的综合考查，通过导数求函数单调性及最值考查学生的分类讨论思想，通过零点的判断考查学生的计算能力.

例3 （2018年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题）已知函数f（x）=1 x-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）-f（x2） x1-x2< a-2.

解法 （1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系对参数a进行分类讨论.

（2）将不等式进行等价转换，构造新函数，研究新函数的单调性和最值得以证明.

本题主要考查对函数单调性的判断，以及函数与不等式的综合，通过分类讨论的思想判断函数的单调性;通过极值点的判断结合转化思想，考查学生的数学运算能力.

例4 （2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题）已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数.证明：

（1）f′（x）在区间-1，π2存在唯一极大值点;

（2）f（x）有且仅有2个零点.

本題通过数学转化思想和函数与方程思想，通过求导解决函数的极值与零点的相关问题，来考查学生的逻辑思维能力与推理运算能力.

（二）试题分析

近几年，以函数与导数命制的压轴题占据着高考数学的制高点，这些试题是命题专家将高中知识与大学知识进行巧妙结合，常常以高等数学知识为背景精心设计的问题，注重考查学生的“四能”以及学生的数学核心素养和探究、创新意识.本文主要研究高考函数与导数这一压轴题是如何对学生的数学学科核心素养进行考查.

由试题呈现我们可以知道，近四年高考数学全国卷Ⅰ理科卷对函数与导数的考查均是两个问题组成，其中第二个问题均需要在解决第一个问题的基础上进行解答.通过分析我们发现，前三年关于函数与导数均作为必答题的最后一道压轴题，并且第一个问题均是要经过对参数的分类讨论从而对问题进行解答，主要运用分类讨论思想，学生通过掌握基本形式和规则，探索和表述解题过程，理解命题体系，有逻辑地解答，主要是对学生的“逻辑推理”核心素养的考查.第二个问题在第一个问题的基础上，综合运用数学的单调性、极值、最值、零点等知识，结合转化思想、函数与方程思想等，考查学生推理论证以及运算能力，学生通过理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路最终求得运算结果，主要是对学生的“数学运算”核心素养的考查.对2019年高考数学全国卷Ⅰ理科卷，相对前三年有些许变化.在试题分布方面，2019年全国Ⅰ理科卷分布在必答题的导数第二题，即20题;在试题的题干中，函数并不存在参数，而是一个具体的函数表达式;在试题的问题设置上并不存在明显的讨论题目.

虽然2019年全国Ⅰ卷理科卷关于函数与导数的考查相比于前三年的试题发生了些许变化，但是所谓万变不离其宗，对函数与导数的考查仍位于高考压轴题的地位，对函数与导数的相关极值、最值、零点、单调性等知识的考查，具有较强的綜合性，难度较大，通过对函数求导再求导，结合单调性以及零点存在定理，证明f′（x）在区间〖JB（（〗-1，π 2存在唯一极大值点，要求学生通过对运算对象的理解、运算法则的掌握、运算思路的探究、运算方法的选择，设计运算程序，求得运算结果，得以证明结论，主要对学生数学运算核心素养的考查.通过数学转化思想，函数与方程思想，推断出x，f′（x）和f（x）的变化情况表，从而证明f（x）在定义域内有且仅有2个零点，要求学生掌握基本形式和规则，学会对论证过程的表述和探索，对命题体系的理解，能够有逻辑地表达证明过程并得出证明.

三、总结提升

笔者将结合前面的试题分析做出如下的总结：

（1）函数与导数压轴题主要考查学生的“数学运算”与“逻辑推理”核心素养，对函数与导数的相关知识的考查相对比较综合，难度较大.学生在平时做此类型的题时，要注重对“数学运算”与“逻辑推理”核心素养的培养.笔者通过对学生答题卡进行分析以及对部分学生的访谈发现，学生在解决此类题型时，理解了解题思路就认为完成了任务，懒于下笔、懒于反思，这将不利于学生“数学运算”与“逻辑推理”的核心素养的培养，不利于学生对此类题的思考，在今后仍然对此类题无从下手.所以笔者建议学生应该勤下笔、勤反思，多计算、多思考，培养学生的“数学运算”核心素养、“逻辑推理”核心素养，争取学会举一反三，培养学生创新精神，灵活解决问题.

（2）高考对函数与导数的“数学运算”“逻辑推理”核心素养的考查要求有下降的趋势.2016～2018年关于函数与导数的考查试题均分布在必答题的最后一道题，即21题，难度较大;2019年关于函数与导数的考查试题分布在必答题的倒数第二道题，即20题，难度相比前三年有所降低.前三年所给出的函数含有参数，需要对参数进行分类讨论，解决问题;2019年所给出的函数是一个具体的函数表达式，不含参数.由此也可看出难度相比前三年有所降低.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王建清.高考数学中导数的考查[J].数学学习与研究，2019（11）：132-133.

[3]黄林盛.高考导数压轴题的那“点”事[J].中学数学研究，2018（12）：35-37.