一道高考题的新解与思考

赵家嗣+梅松竹+李建伟

【摘要】基于公平性和多样性原则，高考命题思路灵活，为学生创造多种解法的可能途径.本文以一题多解的范例，阐释了同一法、斜率法、向量法、二次曲线第二定义法在证明三点共线问题中的妙用，为学生的数学综合能力和核心素养的培养提供重要参考.

【关键词】高考题；一题多解；数学思维；核心素养

考试，是人类特有的评价活动，具有“育才、选才、用才”之能，在当代考试与教育如影随形[1].高考，在我国是最大规模的考试，受关注和监测的程度最高.正因为如此，高考试题必须是科学而有效的，同时为了兼顾考试公平性和多样性，试题在命制时力求思路灵活、解法多样，可以全面衡量考试的数学能力和核心素养.正如学者所言：当今数学教学的重要任务是在教学中培养学生的创新意识、创新思维、创新能力，而“一题多解”正是实现这一重要任务的有效途径[2].下面，将以2010年全国高考卷Ⅰ理科第21题第一问为例，分析一题多解下的数学思考.

例1 （2010年全国高考卷Ⅰ理科第21题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F.过点K（-1，0）的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.证明：点F在直线BD上.

解题思路 证明“点F在直线上”，常规思路是将点的坐标代入直线方程中检验或证明直线恒过定点，解答如下：

此解法有两点需要注意：一是l可能与x轴垂直，故设其方程为x=my-1（m≠0），二是利用根与系数关系将BD的方程进行化简，并求得BD与x轴的交点即是抛物线的焦点.以上是常规解法，按部就班，适合大多数学生.其实，证明点在直线上，我们可以充分利用三点共线的证法，突破思维定式，充分挖掘问题的内涵，一定会得到更为巧妙的解法.

解题分析 本解法与法二利用共点两直线斜率相等来证得三点共线有异曲同工之妙，过程看似相同，实则本法利用了平行向量的证明方法，即由两向量坐标对应成比例得到平行关系，再结合两向量的公共点得出它们共线.向量法是解决空间解析几何的常用方法，值得考生们关注.

另证4 过点A，B做抛物线C的准线的垂线，垂足分别为E，G，EA的延长线交BF于点H.

解题分析 本解使用了统一法，证得所设点与所求点共点，这是典型的化归思想.

本文列举了七种解法，涵盖了几何和代数的多个解题方法，同时涉及多种数学思想.高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化.通过这种渗透，有效促进学生理性思维的发展[3].当前，基础教育已进入到“内涵式”发展阶段，尤其提倡学科素养以及创新和综合能力.因此，在中学阶段，熟练掌握多种数学方法，学会融会贯通，善用多類数学思想切入问题，及时总结和归纳典型题目的典型解法，对于学生的学习不无裨益，也将有益于学生的未来发展.

【参考文献】

[1]梅松竹.国际视野下试卷质量评价研究：理论、方法与实践[M].北京：科学出版社，2015.

[2]李文斌.从初中数学的一题多解谈培养中学生创新思维能力[J].中国校外教育，2010（1）：54-57.

[3]陈昂，任子朝.突出理性思维 弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透[J].中国考试，2015（3）：10-14.