一类复合抽象函数任意阶导数的MATLAB程序实现

李豪

【摘要】本文致力于设计高效的MATLAB程序來计算具有任意多个中间变量和任意多个自变量的复合抽象函数的任意阶导数，其中中间变量仅限于是自变量的线性函数.

【关键词】复合抽象函数；任意阶导数；MATLAB程序；中间变量；自变量

【基金项目】贵州省科学技术基金项目《板振动问题的非协调有限元自适应算法》（项目合同编号：黔科合LH字[2014]7061号）.

一、前言

在一些理论研究、工程计算以及一些程序设计中，我们往往不可避免地要计算函数的导数.对具体的函数求导数，是现在大多数数学软件都可以解决的问题.但是由于理论分析的需要，或者提高程序设计的效率，很多时候我们需要写出函数的导数表达式.对于具有任意多个中间变量的复合抽象函数求任意阶导数，理论上，我们可以按照链式求导法则写出导数表达式，但是这往往是一个复杂的计算过程，尤其对于多个中间变量的高阶导数.例如，对具有4个中间变量，而每个中间变量又是3个自变量的线性函数的复合抽象函数求三阶导数，按照链式法则展开有64项；若对其求四阶导数，展开则有256项.

本文将链式法则程序化，给出了计算任意多个中间变量和任意多个自变量的复合抽象函数的任意阶导数的MATLAB程序，其中的中间变量都是关于自变量的线性函数.

二、符号说明

本文中，我们约定以下符号：

f：一个抽象复合函数；

pi：中间变量，i∈Z+；

xi：自变量，i∈Z+.

三、链式法则及程序设计思想

为确定起见，我们假设y=f（p1，p2，p3），pi=（x1，x2），i=1，2，3.其中，pi是关于x1，x2的线性函数，则y=f[p1（x1，x2），p2（x1，x2），p3（x1，x2）]，求混合偏导数3yx1x2x1.

在混合偏导数不连续的情况下，一定要注意求导顺序.而我们只要观察一下右侧中相应的行即可发现求导顺序的规律.例如，本例左侧中的第二、三、四行虽然相同，但是求导顺序却不一样.观察右侧中第二、三、四行就可发现，左侧中第二、三、四行分别表示3fp1p2p1，2fp21p2和

综上以及连续参数鞅的定义可知{M（t）；t≥0}关于F为鞅.

证毕.

定理2建立的复合Poisson分布下m重风险模型{U（t）=u+S（t）；t≥0}的最终破产概率为φ（u）=e-RuE[e-RU（T）|T<∞]，其中T=inft>0{t；U（t）<0}是破产时刻.

推论1最终破产概率φ（u）满足Lundberg不等式φ（u）≤exp（-Ru）.

【参考文献】

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