数学美在大学数学教学中的运用与思考

侯方博

【摘要】目前高校学生对大学数学的文化价值的认知不够全面，普遍没有数学美的概念，本文就这一现状做了分析并提出了建议.同时从要善于启迪、不断渗透、培养应用能力、精讲多练四个方面介绍了在大学数学教学中数学美的运用.

【关键词】数学美；大学数学；教学

【基金项目】吉林农业科技学院教育教学改革项目——数学美在非专业数学教学中的研究与应用（JGZD011）.

大学数学是学生在大学阶段的重要基础课，一般在非数学专业开设的大学数学有高等数学、线性代数、概率论与数理统计等，统称为大学数学.它是学生在大学阶段构建完整知识体系的基石，对理工科、信息科学类、经济管理类、农业研究类等学科的学生学习后续的专业课程和今后的工作起着重要的奠基作用.因此，在教學中如何提升教学质量、培养学生的学习兴趣和提高学生的学习效果，是值得研究的问题.

按照北京大学数学科学学院张顺燕教授的观点，数学教学的任务是判美和析理.判美，就是对数学对象的审美和对学生进行数学美学教育.这是提高大学生数学素养和培养创新能力的必要环节.数学教师在传授数学知识的同时，引导学生对数学对象审美，是进行数学美育和提高学生文化素养的重要途径.

一、数学美学知识在教与学中的现状与思考

经过调查发现，我们的学生在机械地学习数学知识，一半的学生认为学习数学是有用的，但是数学的学习是无趣的，还存在少数学生不明确学习数学对今后的学习、工作、生活有何用处.另一方面，多数数学教师在教学中全程没有提及过数学美，没有向学生介绍过数学美的书籍，更不能从数学审美的角度分析教学内容蕴含的数学美.就这种现状，笔者有如下建议：

（一）应在日常教学中将数学美学知识融入其中，增加数学课程的文化感和人文气息

数学教师不仅仅是向学生传播数学知识，更重要的是指导学生学习数学文化.因为从文化的角度去学习数学，可以了解数学的全貌，包括数学的产生、发展和应用过程，以及数学中的定义、公式、定理数学语言等的审美过程，从而使学生更好地领悟数学的思想方法和鉴赏数学的美.只有这样，才能实现数学教学提高数学素养和培养创新能力的目的.

（二）对不同专业、不同层次的学生传授数学美知识时要有所侧重

美无处不在，缺少的是发现美的眼睛.数学的美是理性的，感受到的数学的美也是因人而异的.凡是体验过数学美感的人一般都会对数学美有进一步的认识，对这种美感有着长时间深刻的记忆.

数学图形的直观、公式的简洁、数学符号的简练等是一目了然的美观，对于数学基础差的学生可以引导其欣赏这种较低层次的数学美；高度概括的数学语言是较难理解的，但它是很理性的美，是较高层次的美.例如，用“ε-N”语言来定义极限概念，在数学素养高的人眼里它是很美的，因为它简练、精准地概括了极限的内涵，而对于初学者来说，就是晦涩难懂的，毫无美感可言.所以，感受数学美要以相应的数学水平和数学素养为基础.在教学中教师要善于根据学生的特点选择学生熟悉的数学知识讲授数学美，或者对于不熟悉的知识先让学生熟练后再引导其去审视数学美，这样学生会对相应的数学知识进行比较全面的理解，更会对审美数学有比较深刻的感受.

（三）数学教师要注重提升自身数学美学修养

任大学数学课程的教师在日常工作中不仅应当挖掘数学知识中的对称美、统一美、奇异美、简洁美，还要多方面积累有关数学美感的体验，只有美感经验丰富的人才能清楚地了解和把握知识，才能更加恰当地选准时机引导和带动学生体验数学美.

二、在大学数学教学中数学美的运用

（一）要善于启迪，让学生感受数学知识的和谐美与辩证美

数学在其他学科中的应用展现了他们的和谐性，但是数学本身就具有和谐美，体现在数学知识的系统性、严谨性、完整性，这也是数学的普遍形式.

比如，极限的描述性定义是这样表述的：当n无限增大时，|an-A|无限趋近于0.这里同时出现了无穷大和无穷小，将这样一对相互矛盾的对象统一起来，何等的和谐.

在讨论无穷小的性质时，笔者常给学生举下面的例子让学生体会数学的辩证.

（1） limn→∞1n2+2n2+…+kn2（k是与n无关的常数）；

（2） limn→∞1n2+2n2+…+nn2.

学生看到题目后的第一反应认为极限都是0，当教师对k是与n无关的常数做强调和解释之后，就有一部分学生能判断出两题的区别了.此时教师引导学生将两题的求解过程具体写出来，大部分学生就能理解“有限个无穷小的和是无穷小，而无限个无穷小的和未必是无穷小”了.教师一句“量的积累引起质的变化，辩证法在此得到具体体现”，使学生茅塞顿开.

（二）要不断渗透，让学生惊叹数学的对称美与奇特美

对称性是艺术领域里一个非常重要的要素，同时它也是数学美的重要特性.数学中的数与形的对称现象是极为常见的，对称的图形或式子从直观上看具有十足的美感，此外，还有抽象的观念和方法的对称，这需要数学教师的渗透、启迪.一旦在解题时恰当地利用了某种对称性，就会惊叹数学的奇特.

例如，高等数学中研究多元函数的极限或积分，通常的代数的方法不是很容易求出结果，而用极坐标做代换会使得问题简化，其过程是相当奇异与新颖的.再如，在求解积分时如果能恰当、准确地使用下述结论，将会使得问题事半功倍.

（1）∫a-af（x）dx=0，f（x）是奇函数时；2∫a0f（x）dx，f（x）是偶函数时.

（2）D关于x轴对称，则

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）关于变量y是奇函数时；

2D 1f（x，y）dσ，f（x，y）关于变量y是偶函数时.

其中D1为D的位于x轴上方的部分.

（3）D关于y轴对称，则

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）关于变量x是奇函数时；

2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）关于变量x是偶函数时.

其中D2为D的位于y轴右侧的部分.

（4）D关于原点对称，则

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）是奇函数时；2D 1f（x，y）dσ=2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）是偶函数时.

其中D1与D2是D的关于原点对称的两个全等的部分.

（5）D关于直线y=x对称，则

Df（x，y）dσ=Df（y，x）dσ=12D[f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）培养应用能力，让学生享受到解决数学问题后的征服美与创造美

在大学数学教学中，不能把数学专业的思维模式以及对数学专业学生的要求贯穿于其中，没有必要过分强调理论知识的掌握和对数学理论的深入研究，而是要让学生在掌握了基本概念和基本方法的基础上，注重应用能力的培养，即培养学生运用已有的知识去解决不熟悉问题的本领，包括应用的范围、方法以及技巧.实质上，对应用能力培养的同时，可以使学生加深对基本概念和基本方法的理解，同时会深切地体会到问题解决后的征服美与创造美.

关于应用能力的培养，首先，应重视应用意识的培养.它是人们主动用数学观念和方法解决实际问题的关键，没有应用意识就不可能有应用行为.在教学中可让学生更多地了解数学概念产生的背景、发展过程，熟悉知识点的实际背景与其他学科的联系，掌握思想方法的来龙去脉和各种数学应用方法、规律等，这样通过大面积、长时间的熏陶，一定会大大增强学生的应用意识；其次，充分展示数学的方法.在教学中深入挖掘知识的深刻内涵，通过展示过程中的思想方法来培养学生用数学方法思考问题的思维模式；第三，要强化数学应用技能的训练，多举一些与现实问题结合的例题.

比如，在讲授级数知识的时候，可以用芝诺悖论之一“阿基里斯追不上乌龟”作为引例让学生讨论此悖论的症结所在，引起学生的学习兴趣，在介绍了级数的基本知识点后，分析板演此引例中阿基里斯和乌龟分别走過的路程的级数表示，这样学生会更好地理解级数的定义，同时也有利于培养学生将现实问题转化为数学表达的能力，激发征服困难的动力.在学生掌握了一定的级数求和方法后，让他们考虑可否用统一方法求级数1+13+19+127+…与级数1+3+9+27+…的和，让学生体会数学的创造美，增强学习兴趣.

（四）做到精讲多练，使学生学会运用数学的简洁美、相似美

数学的简洁美体现在数学语言的高度概括性、数学内容的高度抽象性，而且还包含解题思维的敏捷性.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句出自《庄子·天下篇》，其用简练的语言概括了有限与无限的辩证关系，同时蕴含了数学的极限思想，读着古人智慧的语句，理解着数学的精髓思想，何等美哉！

解题时，运用数学的简洁美可以尽快地将题目中反映出的新信息有效地进行整合、重组，获得最佳解决方案.当问题越解越烦琐，那么意味着方法、思路存在不当的问题，需另寻他法.例如，利用洛必达法则求极限 limx→0tanx-xxsin2x，当运用到第三次时会发现这个极限表达式已经十分烦琐了，使我们不愿再做下去，此时自然会想到是方法使用不当导致的，进而探求新途径——简化分母，可以用等价无穷小替换（x→0时，sinx～x），再使用洛必达法则就容易求解了.

当某一类数学问题具有相似的条件、结论或图形时，其解法也必具有相似之处.解题时可用相似美为指导，归类处理，从中寻求解题方法.

例如，在利用换元法求积分时，选择什么样的三角函数做代换就要依托sin2t+cos2t=1与tan2θ+1=sec2θ这两个三角恒等式，考查所求积分中的根式与哪个三角恒等式形式相似，再做恰当换元.比如，被积函数中有根式a2-x2，那么要想开根式，需令x=asint-π2≤t≤π2；如，被积函数中有根式a2+x2，那么要想开根式，需令x=atant，-π2

大学数学教学中重视数学美的融入，将会深刻地影响学生的思想情感，教师不仅要引导学生欣赏数学的美，更要给他们留有一定的时间和空间去体味、发现数学的美，也许若干年后他们会忘记公式和定理，但是相信他们会铭记数学美带给他们的美好回忆.