浅析导数与积分的相互关系

时间：2024-05-08

闫永芳

【摘要】在恩格斯的《自然辩证法》和毛泽东的著作《矛盾论》里，讲矛盾的普遍性时，都提到物理学中的“正电和负电”，化学中的“化合和分解”，以及数学里的“正和负”“微分和积分”等.从此，“微分和积分是一对矛盾”便成为一条被普遍认同的命题.哲学家从各个学科中援引例证以论证其哲学命题本无可厚非，然而作为一名数学工作者，如果不做具体分析，空泛地宣称“微分和积分是一对矛盾”则等于什么也没说.本文从五个方面分别讲述了导数与积分在这些方面的不同之处，并做了详细对比，最后阐明了导数和积分的互逆关系.

【关键词】导数；积分；互逆关系

一、研究对象

先说导数.在讨论导数概念时，我们把函数区分为均匀变化函数与非均匀变化函数.所谓均匀变化函数是指在所讨论范围内是线性函数，它在任何一点处函数增量与自变量之比为常数（此即“均匀变化”的意思）.非均匀变化函数是指在所讨论范围内是非线性函数，其函数增量与自变量增量之比不尽相同（此即“非均匀变化”的意思）.导数所处理的问题在于表达和计算这种非均匀变化函数的局部变化率.例如，汽车变速运动时候的瞬时速度.总之，导数概念所反应的是函数的局部性质.

再说积分.在讨论积分概念时，我们把函数区分为均匀分布函数和非均匀分布函数.前者指在所讨论范围内恒等于常数的函数，后者指在所讨论范围内不恒等于常数的函数.积分所处理的问题在于表达和计算非均匀分布函数的一种累积效应.例如，物体在力F的作用下实现从x=a至x=b的位移，假定力的方向与位移的方向平行.如果力F是常力（均匀分布），则力F所做的功等于F（b-a）.如果力F=F（x）是变力（非均匀分布），则变力所做的功可视为在一小段一小段位移中力所做功的累积的结果，即非均匀分布的累积效应.总之，积分所刻画的是函数的一种整体性质.

二、处理问题的方法

总的思路是利用对均匀情形的已有认识达到对非均匀情形的认识.但是摆在我们面前的研究对象是两类非均匀问题：非均匀变化函数的局部变化率问题和非均匀分布函数的累积效应问题.他们的处理方法是不同的.

为了定义非均匀变化函数f（x）在一点x处的局部变化率，关键的一步是考察f（x）从x到x+Δx的变化情况.将f（x）在x到x+Δx的局部变化率视为均匀变化函数（即线性函数），于是变化率为ΔyΔx，此变化率称为f（x）在x到x+Δx的平均变化率.然后通过极限最终达到对f（x）在x处的变化率的认识.积分所要表达的量是非均匀分布函數的累积效应.为了认识这个整体性质的量，在局部视非均匀分布为均匀分布以求得所求量之局部近似，然后累加、取极限最终达到对该整体量的认识.两种方法可作简单的概括：应用于导数称为局部线性化方法，应用于积分的称为局部均匀化方法.

三、微分运算与积分运算

导数和积分所处理的这两类问题，在均匀情形下有着明显的互逆关系：均匀变化函数（线性函数）的导数是均匀分布函数（常数）；均匀分布函数（常数）的变上限积分是均匀变化函数（线性函数）.

为了探索在一般情况下导数和积分的联系，我们研究了整体性质的量的局部特征，即研究了变上限积分的导数.

假定f（x）在含有点a的某区间I上连续，x属于I.则有

ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

假定f（x）具有连续的导数f′（x），则有

∫xaf′（t）dt=f（x）-f（a）.

由此可见微分运算与积分运算具有明显的互逆性.

四、对函数光滑性的影响

先对函数的光滑性作一下说明，下面是关于函数的一系列刻画：在某个指定的区间上f（x）连续；f′（x）存在；f′（x）连续；f″（x）存在；f″（x）连续；延续下去，从左向右，我们称函数的光滑性越来越高.

前面反复讲过，连续函数f（x）的变上限积分是可导的，导数就等于f（x）.由此可见函数经过积分运算后成为光滑性更高的函数.简单地说就是积分运算可提高函数的光滑性，反过来看则是微分运算可降低函数的光滑性.

五、定义的数学结构