多元函数的极值问题及实际案例分析

时间：2024-05-08

孙娜

【摘要】在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.与一元函数类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密切的关系.本文首先以二元函数为例，来讨论二元函数极值问题的求解方法，进而通过实际案例，将所得方法进行验证，来讨论其实际意义.

【关键词】多元函数；极大值；极小值；偏导数；驻点

在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如，用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等问题.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常为目标函数）的最大值或最小值问题.但以上这些问题一般所给出的目标函数都只含有一个变量，直接利用一元函数导数求解极值的方法就可以解决这些问题.而有些实际问题只定义一元函数不能对其进行建模，所建模型至少含有两个或者两个以上的变量，对于该类实际问题要求解极值问题必须要用多元函数理论求解极值问题.

一、多元函数极值的定义

定义设函数z=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）为D的内点.如果存在P0（x0，y0）的某个领域，使得对于该邻域内异于P0（x0，y0）的任一点（x，y）都有f（x，y）f（x0，y0））成立，则称函数f（x，y）在点（x0，y0）必有极大值（或极小值）f（x0，y0），点（x0，y0）称为函数f（x，y）的极大值点（或极小值点）.函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.

对于可导一元函数的极值，可以用一阶、二阶导数来确定.对于偏导数存在二元函数的极值，也可以用偏导数来确定.下面两个定理是关于二元函数极值问题的结论.

定理1（极值存在的必要条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的两个偏导函数都存在，且在该点处取得极值，则必有fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0.

注1使fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0同时成立的点（x，y）称为函数f（x，y）的驻点.

注2由以上定理知，对于偏导数存在的函数，它的极值点一定是驻点.但是驻点却未必是极值点.

二、判断多元函数取得极值的充分条件

定理2（极值存在的充分条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有连续的一阶及二阶偏导数，且（x0，y0）是函数的驻点，即fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0.记A=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0）.

則z=f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）当B2-AC<0时，函数在（x0，y0）处取得极值f（x0，y0），且当A<0，f（x0，y0）是极大值，当A>0，f（x0，y0）是极小值；

（2）当B2-AC<0时，函数在（x0，y0）处没有极值；

（3）当B2-AC=0时，函数在（x0，y0）处可能有极值，也可能没有极值，需要进一步做讨论.

在讨论一元函数的极值问题时，函数的极值既可能在驻点处取得，也可能在导数不存在的点处取得.同样，多元函数的极值也可能在个别偏导数不存在的点处取得，因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，还要考虑那些使偏导数不存在的点.

三、求多元函数最值的方法

进一步，与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值与最小值.如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值，且函数最大值点或最小值点必在函数的极值点或在D的边界点上.因此，只需要求出f（x，y）在各驻点和不可导点的函数值及在边界上的最大值和最小值，然后加以比较即可.

综上所述：假定函数f（x，y）在有界闭区域D上连续、偏导数存在且驻点只有有限个，则求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步骤为：

（1）求函数f（x，y）在D内所有的驻点处的函数值；

（2）求f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值；

（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小值即为最小值.

四、解决实际案例

例设某工厂生产两种产品A，B.D1，D2分别为产品A，B的需求量，而它们的需求函数为D1=8-P1+2P2，D2=10+2P1-5P2，总成本函数C=3D1+2D2，其中P1，P2分别是产品A，B的价格（单位：万元）.问价格P1，P2分别取何值时可使利润最大？最大利润为多少？

解总收益为R=P1D1+P2D2=P1（8-P1+2P2）+P2（10+2P1-5P2），

总利润为L=R-C=（P1-3）（8-P1+2P2）+（P2-2）（10+2P1-5P2），

利润L是价格P1，P2的二元函数.解方程组

LP1=7-2P1+4P2=0，

SP2=14+4P1-10P2=0，得P1=632，P2=14，

即得唯一驻点632，14.