微分方程在数学建模中的应用

张一敏

【摘要】微分方程建模是解决实际问题的一个非常有效的方法，微分方程数学模型在实际生活中的应用非常广泛.本文通过减肥模型分析了微分方程建模在实际生活中的应用.

【关键词】微分方程；减肥模型；应用

一、引言

微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.在实际生活中，事物的变化本身具有某种内在规律，这些规律即是量与量之间的依赖关系.微分方程可以通过对事物进行机理分析，找出量与量的变化关系.实际生活中涉及变化率、边际、数量规律等问题可以通过求解微分方程去预测其内在变化规律.

数学模型是现实世界的本质反映和科学抽象，它用数学语言描述研究对象的固有特性和有关因素之间的互相关系.在客观世界中，为了对某一事物或过程进行定量的研究，常常通过建立数学模型来表征这个事物或过程的本质.一个好的数学模型不仅客观地反映了实际，而且又易于处理.通过对数学模型的求解或分析来解释客观现象，预测事物发展，以及进行系统决策，这种解决问题的方法在生产技术、科学技术和经济金融等众多领域中得到了广泛的应用，成为人们研究客观世界的有力工具.

应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型，一般是动态数学模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释.由此我们认为有机地将数学建模与微分方程结合，必定能使微分方程在实际应用过程中发挥更多更好的作用，以便能解决更多的实际问题，产生更好的效益.

二、微分方程在数学建模中的应用

在碰到实际问题时，应建立研究对象的数学模型.建立数学模型首先应具体问题具体分析，对建立数学模型的目的应做相应的假设和简化，而后依照其内在规律罗列出这种微分方程，求出其方程的解，并将其结果进行描述、分析、预测或控制，最后回到实际对象中应用.下面介绍微分方程建模的例子.

问题描述：某人每天由饭食获取2 500卡热量，其中1 200卡用于新陈代谢，此外每千克体重需支付16卡热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每千克脂肪含热量10 000卡，问此人的体重如何随时间而变化？

解析设人的体重为m（t），假设体重随时间是连续变化的，即m（t）是连续函数且充分光滑，故我们认为能量的摄取和消耗是随时发生的.这里我们以“天”为时间单位，在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化.根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.

我们发现从理论上来说，只要适当调节A和B，C（不变），即控制饮食和增加活动量，减肥就能达到好的效果.

三、总结

目前，数学模型已经广泛应用于社会的各个领域，人们追求定量分析和优化决策，这都离不开数学模型.数学模型是为了解决现实问题而建立起来的，它能够反映现实，即能够反映现实的内在规律和数量关系.数学模型作为一种模型，必须对现象做出一些必要的简化和假设.首先，要忽略现实问题中许多与数量无关的因素，例如，本例中我们忽略了个体的年龄、性别、健康状况等.其次，还要忽略一些次要的数量因素，从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律.本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，隨着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景.另外，目前随着人们生活水平的不断提高，肥胖逐渐呈现出低龄化，尤其是儿童肥胖应该引起我们的重视.

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