单纯形方法中使用数形结合解析的几个问题

蔡江波

【摘要】数学学科在现阶段高职院校基础性学科培养体系中处于重要的位置，它对于学生的基础知识认知体系的形成具有重要意义.线性规划方法是现代数学学科发展路径中用于解决复杂线性约束条件下的最优解问题的基本方法，在现代数学的发展脉络中具备极其深远的现实影响意义.

【关键词】高职数学；单纯性方法；数形结合

单纯形方法是现代数学中解决线性规划最优解问题的基础的和首要的应用方法，对于有效解决无最优解的线性规划问题、退化解线性规划问题，以及多重最优解的线性规划问题，具备显著的促进和保障作用.由于现阶段绝大多数高职院校学生尚且无法做到对单纯形方法求解现行规划问题的本质能够准确理解，因而，给实际教学效果造成了显著的不良影响，而数形结合方法在实际教学中的引入和运用，为有效解决上述教学困境做出了重要贡献.鉴于此，本文将会围绕用数形结合解析单纯形方法教学中的几个问题展开简要阐释.

一、无最优解的线性规划问题

在线性规划数学问题的运算处理过程中，受所求问题和可行域便捷约束条件等因素的共同影响，通常会出现最优解不存在现象，而且针对这一数学问题的计算和证明，往往也是具体教学环节开展过程中的难点.

例1求解如下线性规划问题：

maxS=3X1+2X2，其约束条件为X1-X2≤2.00；200X1-X2≤6.00；X1≥0；X2≥0.

解根据题干和已知条件，先将原有问题的表述语句转化为标准形式，并同时引入松弛数学变量X3和X4，这时可以得到新的问题表达语句为maxS=3.00X1+2.00X2+0X3+0X4.其基本的数学规划约束条件为X1-X2+X3=200；2.00X1-X2+X4≤6.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

选取线性规划数学运算条件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具体列示出线性规划可行基B1在单纯形线性规划方法运用条件下的数值分布表，并借助换基迭代方法获取如表1所示数据结果.

在线性规划数学运算条件下的可行基Bi=（P1，P2）具体对应的单纯形测算数据量表中，由于检验性控制参数（-Cj）项目中的（-7.00）数据项具有非正数属性表现特征，因而，应当针对现有的非基变量项目（X3）实施进基运算处理，与此同时，由于非基变量项（X3）在这一运算处理条件下，所对应表格数据列中的（-1.00）和（-2.00）项均具有非正数的数学属性特征，直接导致这一数学运算处理情境之下未能形成基变量处理项目，因而，可以确定这一线性规划问题在现有的数学约束条件下不存在最优解求解结果.

以线性规划问题求解活动的基本思路展开简要分析，如果某一检验性参数所在单纯形数据表的所在列向量中不存在数值表征属性为正数的数据项，则直接可以判定，对应的数学线性规划问题不存在最优解.

以例题1所列示的数学问题场景展开分析，基于初始化数据求解列表中的T（B1）数据列，即可明确实现对问题中最优解存在与否的准确判断，由于检验性控制参数（-Cj）项目所在数据列中的（-2.00）<0，直接可知检验性控制参数（-Cj）项目所在的第二列数据元素中不存在具备正数数学属性的数据项目，因而，导致例题1所列示的线性数学规划问题，在现有的约束条件之下，不存在最优解.在此基础上，本文将结合几何图形，对例题1的数学描述特征展开分析.

如图1所示，由于在题干所述的初始性数学约束条件中，（X2）项的约束系数均为非正数，表明在现有的线性规划数学条件之下，（X2）处于不受约束状态，也就是说，例题1对应的可行域图形具有无上界特征.与此同时，对于线性规划问题求解过程中的目标直线簇S而言，其最优化求解过程中的方向，是沿着可行无上界域的上方呈现无限变化趋势的，因而，可以在图形分析背景下，证实例题1所述问题不存在最优解.

二、退化解线性规划问题

例2求解如下线性规划问题：

maxS=-2.00X1-5.00X2；其约束条件为X1+3.00X2≤6.00；X1-X2≤2.00；X1≥0；X2≥0.

解根据题干和已知条件，先将原有问题的表述语句转化为标准形式，并同时引入松弛数学变量X3和X4，这时可以得到新的问题表达语句为maxS=2.00X1+5.00X2+0X3+0X4.

其基本的数学规划约束条件为X1+3.00X2+X3=600；X1-X2+X4=2.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

选取线性规划数学运算条件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具体列示出线性规划可行基B1在单纯形线性规划方法运用条件下的数值分布表，并借助换基迭代方法获取如表2所示数据结果.

通过对基项参数T（B3）中列示的相关内容展开具体分析，可知例题2中所列线性规划问题的最优解为S=-1000，此时X1=0，X2=2.00.

在实施第一次迭代运算处理过程中，如果在完成基变量项目选择环节基础上，同时出现了两个具备等同性比值特征的最小值，则通常可以任意选取其中的一个作为后续运算处理过程中的基础条件.如果在完成第一次迭代运算处理基础上出现了基变量项目X1=0的运算处理结果，则通常认为这一运算条件下获取的最优解，具备退化特征.

在实际开展基变量选取环节过程中，如果同时存在两个或者是两个以上的、具备等同性比值特征的最小值，如果在这一运算处理情境下，随机选取任意一个最小值展开后续的进基性计算分析规划求解处理过程中，往往会同时出现一个或者是多个基变量参数项目同时为零的运算处理结果，这时通常认为实际求解获取的基础解具备表征明显的退化性特征.

在线性规划问题的运算求解构成中，退化解计算结果的出现，将会直接导致目标函数无法获取到及时有效的数学改良，因而，在运用一般运算法处理后获取的新的线性规划解，往往依然具有退化特征，直接导致线性规划问题的求解处理过程，在有限的区间内呈现出循环往复特征，始终无法实现对最优解的求解处理目标.为切实解决退化解运算处理过程中的循环往复现象，通常需要：分别计算出紧接求解列之后一列的元素与求解列相应的元素的比值数据结果，并从中选取比值数据最小的一个数据行作为最终应用的求解行.

例题2中所列示数学情境，其具体涉及的运算求解处理过程，不具有循环性表现特征，直接导致该问题通过换基迭代的计算处理方法，能够获取到最优化的结果.在引入数形结合分析方法基础上，可以获取如图2所示的可行域.

在图2所示的可行域求解图形中，A点对应的恰好就是基于单纯形法获取的基本解系，在单纯形计算处理方法背景下所表现的变化特征.

事实上，在例题2所述的问题情境中，点A（0，2）在两个独立存在的线性规划约束条件的共同约束之下，就可以实现准确的运算描述.而本组例题中同时给出了三个线性规划可行域边界约束条件，即X1=0；X1+X2=2.00；X1+3.00X2=6.00.从这里可以知道，在线性规划可行域的便捷约束条件数量超过极点确定过程中的约束条件个数限制条件下，通常会导致线性规划数学问题，在具体的求解处理过程中，出现退化解现象，给最优解的计算分析求解处理过程造成极其显著的技术困难.

三、结束语

针对数形结合解析单纯形方法教学中的几个问题，本文从无最优解的线性规划问题、退化解线性规划问题两个基本方面，结合对具体例题的计算分析处理，具体论述了线性规划问题求解过程中最优解的不存在现象，以及可能发生的循环性退化解问题，旨在为相关领域的研究人员和一线教师提供借鉴.

【参考文献】

[1]黎铁新.用数形结合解析单纯形方法教学中的几个问题[J].高教论坛，2005（06）：151-153.

[2]茍爱章.数形结合在解题中的应用[J].数学教学研究，2013（09）：61-63.

[3]王东援，杜秀玲，冷福林.介绍一种最优化方法——单纯形法[J].环境与健康杂志，1986（04）：20-22，25.