刍议导数教学的有效对策

陈俊俊

导数作为研究函数的重要工具，也是进一步学习高等数学的基础，一直受到命题者的重视与青睐，导数的应用已成了命题的必考点，也作为高考的压轴题成为一种常态.通过对近几年全国高考数学新课程卷Ⅰ进行分析，笔者认为在高二对人教版A版选修2-2第一章“导数及其应用”教学中要把握高考命题方向，围绕高考知识点进行有效教学.

“导数及其应用”这一章分为三块：导数的概念与计算、导数的应用、定积分.

1.导数的概念与计算

这一块在学习的时候要求学生掌握21841（爱你，不是你），具体为：

2个背景：平均变化率、瞬时变化率；

1个定义：导数的定义；

8个公式：常用的基本初等函数的导数公式；

4个运算法则：两个函数加、减、乘、除的求导运算法则；

1个运算法则：复合函数求导法则（文科不要求掌握）.

在这一块的学习中，要注意学生对导数概念的理解.

2.导数的应用

导数的教学应突出基础性和综合性，要准确理解概念，掌握通性通法，学会融会贯通，要会利用函数解决某些简单的实际问题.

尤其要关注以下几个问题：

（1）知晓三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的性质（以a>0为例）：

①函数图像与单调性：

记Δ=b2-3ac为三次函数图像的判别式，用判别式判断函数图像：

当Δ≤0时，f（x）在R上单调递增；当Δ>0时，f（x）会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值点.

②对称性：

f（x）的图像关于P-b3a，f（-b3a）对称，其极值点对应的图像上的点也关于点P对称（理科适当介绍二阶导数）.

（2）熟悉几类常见构造函数的形式：

关系式为“和”型：

①f′（x）+f（x）构造为[exf（x）]′=ex[f′（x）+f（x）]；

②xf′（x）+f（x）构造为[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）；

③xf′（x）+nf（x）构造为[xnf（x）]′=xnfx（x）+nxn-1f（x）=xn-1[xf′（x）+nf（x）].

（注意对x的符号进行讨论）

关系式为“减”型：

①f′（x）-f（x）构造为f（x）ex′=[f′（x）ex-f（x）ex]e2x=f′（x）-f（x）e2；

②xf′（x）-f（x）构造为f（x）x′=xf′（x）-f（x）x2；

③xf′（x）-nf（x）构造成f（x）xn′=xnf′（x）-nxn-1f（x）（xn）2=xf′（x）-nf（x）xn+1.

（注意对x的符号进行讨论）

（3）熟悉活跃在高考题中的几个重要函数不等式：

结论1 对x∈R，ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取得等号.

变式1 对x∈R，e-x≥1-x恒成立，当且仅当x=0时取得等号；

变式2 对x>-1，e-x≤11+x恒成立，当且仅当x=0时取得等号；

变式3 对x>-1，x≥ln（x+1）恒成立，当且仅当x=0时取得等号；

变式4 对x>0，x-1≥lnx恒成立，当且仅当x=1时取得等号；

变式5 对x>0，x>lnx恒成立.

结论2 对x≥0，x≥sinx恒成立，当且仅当x=0时取得等号；对x≤0，x≤sinx恒成立，当且仅当x=0时取得等号.

除此之外，还可以对这两个函数不等式以及其变式进行变形、替换、赋值、放缩等变化衍生出更多函数不等式.

（4）适时介绍洛比达法则（文科生、平行班不做要求）：

含参的恒成立问题一直是高考考查的热点，而且经常作为压轴题出现.对于含参恒成立问题学生习惯用分离参数求解，但在分离的途中有时会出现00型或者∞∞型的式子，无法按照常规方法约掉零因子或者无穷因子，但若借助高等数学洛比达法则便能化险为夷.

3.定积分

考试说明对定积分这块的要求是“了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念”.大纲对定积分要求并不高，所以不必在这块花太多的时间和精力.但要注意定积分的几何意义.

总之，函数与导数是高考的重要考点，在复习中应以全国考试大纲为依据，以考试说明为指导，以函数的基本概念和性质为主线，引导学生利用导数的“工具”特性，培养用导数分析函数性质的意识，渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，提高解决问题的能力，以适应高考改革对复习的新要求.