解三角形的题型

温笑颖

【摘要】一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.本文重点是用正弦定理和余弦定理来解三角形.

【关键词】解三角形；正弦定理；余弦定理

以下均设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

一、三角形有解无解，有一解还是两解

例1 在△ABC中，已知a=2，b=2，A=30°，则角B有（ ）.

A.无解 B.一解 C.两解 D.无数解

解 由正弦定理，得 asinA=bsinB，即2sin30°=2sinB，sinB=22，又∵0°a，∴B=45°或B=135°.选C.

例2 （2015北京文科）在△ABC中，a=3，b=6，A=2π3，则B=.

解 由正弦定理，得asinA=bsinB，即332=6sinB，所以sinB=22，所以B=π4.

说明 已知△ABC的边a，b和角A.

（1）若A为锐角时：

a（2）若A为直角或钝角时：a≤b，无解；a>b，一解（锐角）.

二、判断三角形的形状

判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状（角化边）.

二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状（边化角）.

例3 根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；（2）acosA=bcosB=ccosC.

选题意图 本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.

解 （1）解法一 （角化边）由余弦定理得：

acosA=bcosBa·b2+c2-a22bc=b·a2+b2-c22aca2c2-a4-b2c2+b4=0，

∴（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0，∴a=b或c2=a2+b2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二 （边化角）利用正弦定理进行边角转化.

（2）由正弦定理得：a=csinAsinC，b=csinBsinC代入已知等式：

csinAcosAsinC=csinBcosBsinC=ccosC，∴sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC.

即tanA=tanB=tanC.

∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C.

∴△ABC为等边三角形.

说明 根据已知条件，适当选取使用的定理，也是应该在解题中注意的问题.

例4 （2013陕西文科）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）.

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.不确定

解 ∵bcosC+ccosB=asinA，∴由正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A，所以sin（B+C）=sinA，sinA=sin2A，sinA=1.

∴△ABC是直角三角形.

三、求解三角形