对一道抛物线习题的引申、拓展

刘承辉

在平常的学习中，我们不乏周而复始、简单重复的解题训练.对于一些习题，具有较强的示范性.在教学中教师要善于以这些习题为原型，引导学生进行适当引申、拓展和解题后的反思.这样不仅能充分发掘习题的潜在教学价值，而且对于提高学生学习积极性，培养探索性和创新精神大有帮助.本文仅对一道习题结论加以引申、拓展，供读者参考.

原题：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.

由此结论发现y1y2是一个常数，此结论不难证明（略）.

一、引 申

1.原题条件不变，结论变化

（1）x1x2是常数：

分析 （如图1）∵A，B两交点都在抛物线上，

∴y21=2px1，y22=2px2，

∴x1x2=y212p·y222p=（y1y2）24p2=（-p2）24p2=p24.

所以x1x2也是一个常数p24.

（2）1AF+1BF是否为常数？

分析 如图1，由抛物线定义得：

1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2（x1+x2+p）=2p.所以，1AF+1BF是一个常数2p.

（3）若AFBF=λ（λ>0），则AB=？

分析 如图1，设AF=d1，BF=d2，则

d1d2=λ，1d1+1d2=2p，解之得d1=p（1+λ）2，d2=p（1+λ）2p.∴AB=d1+d2=p（1+λ）2λ.

2.条件与结论互换

原题的逆命题是否成立？即若y1y2=-p2（或x1x2=p24），则直线AB是否过抛物线的焦点F（p2，0）呢？

分析 若AB垂直x轴，结论显然成立；若AB不垂直于x轴，设直线AB的斜截式方程y=kx+b（k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+b，y2=2px，消去x得y2-2pky+2pbk=0.

∵y1，y2是上述方程的实根，

∴y1y2=2pbk.而y1y2=-p2，∴2pbk=-p2.

∴b=-pk2.∴直线AB的方程为y=k（x-p2），∴直线AB过抛物线的焦点Fp2，0.

二、拓 展

例 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点.点C在抛物线的准线上，证明直线AC经过原点O.

证明 （如图2）

∵抛物线的焦点Fp2，0，

∴过点F的直线AB的方程可设为x=my+p2.

代入抛物线方程得：y2-2pmy-p2=0.

若A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-p2.

∴BC∥x轴，且点C在准线x=-p2上，

∴点C坐标为（-p2，y2）.

∴kCO=2py1.

∵y21=2px1，

∴2py1=y1x1，

∴kCO=kOA.

∴直线AC经过原点O.

由此可知，对于典型习题结论加以引申、拓展，不仅能收到举一反三触类旁通的功效，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性和深刻性.