一道不定积分的多种解法

李庆娟

【摘要】不定积分是高等数学的重要内容之一，它的求解方法有很多，熟练掌握不定积分的求解方法是后期

学习的坚实基础，本文主要是基于分部积分法就一道不定积分的求解方法就行探讨.

【关键词】不定积分；分部积分法；凑微分.

【中图分类号】013 【文献标识码】A

解法1 一般情况下，被积函数是两类不同函数的乘积时，可以确定基本上是采用分部积分法，分部积分法的公式是∫udv=uv-∫vdu，在公式中哪个函数作为u，哪个函数作为v是有讲究的，基本规律是将五类基本初等函数按顺序排列，即“反对幂三指”，当任意两类不同函数相乘时，基于谁排在后谁优先凑进去作为v的原则，所以就本题而言我们先处理三角函数，但注意cos2x作为整体是凑不进去的，故需要先变形，我们利用三角函数的倍角公式，将cos2x降幂，进而继续求解，详细过程如下

解法2 在解法1的基础上，在第二步时可采用整体凑微分的方法.

解法3 解法1与2均是对三角函数采用降幂方法先进行化简，再凑微分，然后利用分部积分法求得结果，那也可以不化简而直接凑微分，但也只能将一个cosx凑进去，然后利用分部积分法求解，解法如下：

解法5 以上四个解法，都是从三角函数出发，那也可逆向思维，打破常规，考虑幂函数凑进去作为v，再采用分部积分法进行求解.

注：解法5中，虽然在第一步处理时是优先选择了将幂函数凑进去作为v，但是注意后面处理相同情况时，还是优先选择了三角函数，否则是解不出来结果的.

以上，我们给出了一道不定积分的五种计算方法，当然这方法都是分部积分法的应用，虽然是同一个应用，但是我们处理方式不同，方法过程就有所不同，今后，在做不定积分题目时，在掌握基本方法和原理的基础上，我们要学会发散思维，灵活处理.