对《用等价无穷小代换求极限的两个误区》一文的修正和补充

杨丽娜

【摘要】等价无穷小代换是求函数极限的一种重要的解题手段.本文对参考文献[1]提及的复合函数求极限时应用等价无穷小代换所需条件进行了修正，同时对参考文献[1][3]中提及的差函数求极限不能各自用等价无穷小代换这一结论进行了补充和修正，指出在一定条件下差函数求极限也可以用等价无穷小代换.

【关键词】等价无穷小；极限；高等数学

【图书分类号】O172

在文献[1]定理2的证明过程中提及当x→x0时如果有β（x）→0，同时u→0时如果有f（u）→0，且有f（u）～u，则有f（β（x））～β（x），这一结论对有些情况是不成立的，现举一例说明.

例1 讨论sinx2sin1x与x2sin1x是否是等价无穷小.

解 因为limx→0x2sin1x=0，limx→0sinx2sin1x=sinlimx→0x2sin1x=0.所以当x→0时，sinx2sin1x与x2sin1x都是无穷小，但不是等价无穷小.因为当x取1nπ，（n∈Z）时，sinx2sin1x与x2sin1x的值都为0，即在x0=0的去心邻域里二者函数值可多次取得零值，故不能相除，因此不是等价无穷小.在文献[1]定理2的结论应补充：在x0的去心邻域里f（β（x））与β（x）都不为0时，有f（β（x））～β（x）成立.

在文献[1]的定理1中指出“同一变化过程中，α～α′，β～β′且limmα′nβ′≠1时，有mα±nβ～mα′±nβ′”.现取m=n=1，只针对limα′[]β′≠1时，有α-β～α′-β′的结论展开讨论.实际上即使limα′[]β′=1，也会有α-β～α′-β′情况，现举一例说明.当x→0时，有tanx～x+x33，sinx～x-x33！，而limx→0x+x33x-x33！=1，即满足limα′[]β′=1，但有limx→0tanx-sinxx+x33-x-x33！=1，这是因为可以把tanx和sinx分别用各自用带有皮亚诺余项的泰勒公式展开到3阶，就有

sinx～x+x33-x-x33！，上述的例子说明了如果有limα′[]β′=1成立时，也会有结论：α-β～α′-β′成立.当然这样的结论和定理文献[1]所提到的定理1结论并不矛盾，只是这里强调了在求解极限的具体问题中，不必拘泥于定理1所提到必须满足limα′[]β′≠1的条件才会有α-β～α′-β′成立.可以把上述结论直接用于下面的例子.

例2 求limx→0tanx-sinxx3.

解 因为tanx-sinx～x+x33-x-x33！，依据上面的分析，可以把tanx、sinx分别用它们各自的等价无穷小x+x33，x-x33！来代替，即limx→0

由前面证明可知： tanx、sinx和各自的3次泰勒多项式是等价无穷小，在此题中将tanx、sinx各自的等价无穷小代入求得极限，其思想来源于泰勒公式求极限法.这一结论可以推广：

定理1 设f（x），g（x），h（x）分别在x0点可以展成n，m阶泰勒公式，则有

由函数的泰勒公式定义很容易得到上面的结论，证明省略.

定理表明函数如果能展开成泰勒公式并且满足一定条件的话，函数的n次泰勒多项式是其等价无穷小.求差函数极限时，分子、分母每个函数用各自的泰勒多项式直接带入，分子每个函数的多项式最高次幂相同且大于或等于分母多项式的最高次幂.

【参考文献】

[1]赵琼.用等价无穷小代换求极限的两个误区 [J].高等数学研究，2009，12（5）：18.

[2]同济大学数学系.高等数学（上）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007：59.

[3]张海琴，于力.差函数的等价无穷小代换[J].高等数学研究，2004，7（5）：49.

[4]郑瑞根.泰勒公式在用等价无穷小替换求极限中的应用[J].南平师专学报.2005，24（4）：7.