如何在课堂教学中渗透建模思想

刘进

[摘要]数学知识的实际应用一直以来困扰着学生，结合自己的教学经验，谈谈如何在课堂教学中渗透数学建模思想，发展学生的数学应用意识。

[关键词]数学建模；应用意识；实际问题；实践能力

传统的应用题教学，题目是经过加工提炼出来的，为了计算方便往往将数据加以改编、优化，题目中的条件也是充分的。教师在教学过程中只注重怎样将应用性问题转化为数学问题，并不重视模型建立的过程，这样学生感觉不到应用性问题来源于生活，直到高中毕业，对于应用性问题依然感到陌生和抵触。基于自己遇到的问题，有以下几点思考与实践：

一、创设实际生活中的问题情境，引入新知

从社会意义角度，我们可以把数学认识过程分为数学研究过程和数学学习过程两类，数学研究过程的一般路线是：发现问题—提出假设—验证假设—获得结论，而数学学习的一般过程是：学习基本概念和原理—展开理论体系—接近客观实际。两个过程不吻合，所以在教学过程中容易使学生缺乏自主的思维活动，缺乏应用数学知识分析问题解决问题的能力。我们应该使学生的数学学习更加接近数学研究的真实过程。例如，《正弦定理》一节可以这样引入：

设A，B两点在河的两岸，只有测角仪器、米尺和计算器，怎样测量A，B两点之间的距离？

学生可能会这样解决：在A同侧选取恰当的一点C，使角C为90°，然后测出AC两点间的距离和角A的大小，利用直角三角形有关知识可以解出AB。这时再提出问题：如果受地形条件所限，并不能找到这样的点C，还能测量出AB的距离吗？也就是已知三角形中三个角的大小和一条边的长度，求另外的一条边，解决了这个问题，正弦定理的内容和推导过程也就呈现出来了。学生体会了知识因为需要而产生，并不是凭空出现的。不让学生“编”应用性的问题，编的多了，自然认为问题都是编的。让学生去发现，去应用，既能巩固知识，又能培养应用意识。

二、让学生自己动手调查实践，感受数学知识与实际生活的联系

传统的应用题中数据都是直接给出的，学生并不考虑数据的来源和合理性，直接应用所给数据解题，对于他们来说，所给的数据只是条件之一，所以和生活中的实际问题联系不起来。在教学过程中，有机会就让学生自己动手调查实践，将所学知识应用于生活，例如：在学习《用样本的数据特征估计总体的数据特征时》，笔者留了这样一个作业：2012年7月1日北京市开始实施阶梯电价，市电力公司已经及时制定了《北京市居民生活用电试行阶梯电价实施细则》，相关负责人指出，此次调整对80%以上的用户并无影响，请你了解《细则》内容并调查城市居民用电情况及阶梯电价对居民用电的影响。学生通过记录电表得到居民一个月用电量的样本，在课堂上学习用频率分布表和频率分布直方图处理样本数据，从而估计总体用电情况。当时学生调查的结果都证实了将240度电作为标准是合理的。数据由学生动手收集得到，再经过整理和分析，学生们也就理解了为什么这样制定细则，会觉得数学知识离生活很近，既学习了知识，也学会用数学的方法理性分析社会问题。

动手调查和实践的问题不能过于复杂，信息获取不宜难度过大，否则会打消学生实践的积极性。尽量与学生的生活息息相关，这样学生才能体会到所学知识可以在生活中得到应用，甚至会加深学生对社会现象的理解，帮助他们建立正确的世界观。

三、应用题教学向数学建模贴近，让学生体会建立模型的过程

数学建模是根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。

人教版选修系列《生活中的优化问题举例》例2，饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响，其背景材料中的“球形瓶装饮料”在实际生活中很少见。不如让学生根据自己的经验，假设包装的形状，再研究这个问题，其中参数也可以自己设定，例如：

[简化假设]

1。包装为圆柱体；

2。大包装与小包装形状完全一样；

3。每平方厘米包装的成本为a元；

4。高与底面半径之比为k；

5。每售出1立方厘米饮料，可获利为b元。

[模型建立]

利润y等于出售饮料获利减去包装成本，所以

y=πr2·kr·b-2πr·kr·a。

[模型求解]

y′=3kbπr2-4kaπr=kπr（3br-4a），

利用导数知识可知，当r=4a3b时，利润最小，并且随着r增大，利润也在增大。

[模型验证]

市场上等量小包装物品比大包装要贵，说明大包装利润高些。

在建模的过程中，教师尽量不给出对模型的假设，由学生来完成，学生还可能将饮料瓶的形状假定为长方体、正方体，模型求解的过程都差不多。这样学生可以尽量联系实际生活，并能透过现象看到问题本质，使所学知识得到应用。教师可以适当引导：是不是半径越大就越好？利润还可能和哪些因素有关？这样可以产生两个研究性学习课题：体积一定的饮料瓶设计成什么形状更节省包装成本？饮料销售量和饮料瓶的体积有什么关系？经历了这个过程，学生体会到生活中数学无处不在，而我们所学的数学知识来源于生活并且服务于生活。

建模的过程比传统应用题的审题要难，但学生是主动去发现的，不是被动接受的，这样学习的积极性就会提高。将数学理论应用于现实，不但能使理论得到实践检验，而且能增强学生对数学真理性的信念，还能从中获得数学认识的新源泉，提高了学生的学习兴趣和数学素养。

综上所述，在日常教学中渗透数学建模思想，首先教师就应该关注生活关注社会，有一双发现数学问题的眼睛，为学生提供基本内容的实际背景和宽松的、富有生命力的课堂环境，培养学生学习的主动性和创造性。