论“数形结合”思想在高中解题中的应用

甄琪琪

【摘要】“数形结合”思想是目前高中数学学习过程中经常用到的一种数学思想方法，笔者在高中三年学习期间，发现集合、排列组合以及函数部分属于这一思想应用较多的领域，故而在老师的指导下，将这些利用到“数形结合”思想的部分做了较为完整的总结.本文以“数形结合”思想在高中解題中的应用为主要话题，笔者通过总结高中数学学习过程中利用到这一思想进行解题的类型，提出了一些自己的看法，希望能对处于高中学习阶段、对于数学学习有些困难的同学提供一定的帮助.

【关键词】数形结合思想；高中数学学习；数学解题

一、数形结合思想之我见

笔者认为所谓的“数形结合”思想就是利用几何图形与数值之间的关系，来进行数学题目的解答.几何图形和数值是构成数学的两个重要元素，而且二者之间并不是完全独立的关系.可以说，每一个几何图形当中都蕴含着一定的数值关系（比如面积、周长的计算都属于数值关系的内容），而数值关系又可以通过几何图形来进行形象的描述和表达（比如数轴、矢量等等）因此，将二者结合起来，将较为复杂的数学计算问题参考“数”和“形”两个方面的维度来进行解决，是非常有效、也有助于将复杂问题简单化的方法.

二、数形结合思想在高中解题中的应用

（一）集合中的应用

笔者在复习集合类的题目时，发现集合部分对于数形结合思想运用较多的主要有以数轴和韦恩图为主，这对于处理结合部分的子、交、并、补问题具有直观性和便利性的特点.以这样一道题目为例：A={x∈N，03或x<1}，求A∩B.在解答这类题目时，笔者首先会在数轴上标出相应的点（这道题中相应的点分别是0，7，3，1），然后根据不等式所表示的方向，在数轴上画出相应集合所表示的区域，而区域重叠的地方，就是所谓的交集，因为N意味着整数，因此可以得出这道题目的结论A∩B={4，5，6}.笔者认为，基本集合类题目的模型都可以利用数轴的方法来求解，只要能顺利分解出数学题目当中的集合模型，实现其与数轴之间的直接转化，就能够快速、高效地解决题目，还能保证较高的准确率.

（二）排列组合中的应用

排列组合类利用“数形结合”思想来解决问题的题目，其共同点在于问题的本身就具有一定的图像性和画面感.例如这道题目：在圆周上一共8个点，以这8个点做弦，那么圆的内部最多会出现多少个交点？

通过随意绘图我们可以发现，一条弦需要两个圆上的点；三个点最多可以画出三条弦，但是不会在圆内有交点；四个点最多可以画出六条弦，圆内只能有一个交点.因此要想使这些弦在圆内造成的交点达到最大值，我们可以将这道题目构建成这样一个模型，即将四个点分为一组，那么8个点中一共可以划分出多少个四点组合，那么这就是一道非常普通的排列组合问题，即C48=8×7×6×5/4×3×2×1=70，也就是最多可以有70个交点.这类题目在求解计算的时候其难点在于能否利用数形结合思想将题目构建出排列组合的模型，换言之“数形结合”思想在这类排列组合题目当中的运用目的在于构建模型，而不是解题.

（三）函数极值中的应用

函数当中极值的运用，笔者打算借用一道函数和数列相组合的题目来进行说明.通常意义上，数列当中对于“数形结合”思想的运用，其情况较为复杂，只有先将数列整合成函数的模型，才能进一步地引入图形来进行题目的求解.而这一类题目中最为常见的就是所谓的求极值.

以这样一道题目为例：等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=15，S13>0，S14<0，请问S1、S2……S13当中究竟哪一项最大？请说出具体原因.这道题目乍一看较为普通的想法是利用a3的值以及等差数列的属性求出S1～S13的值，但是罗列出相关数据之后就会发现这个方法行不通，换言之就是给出的具体数值有限，没有办法求出具体数值来比较大小.在这样一种情况下，我们可以将这个等差数列的求和公式看作是一个一元二次函数，y=Ax2+Bx（x只取自然数），那么这个函数上就会有两个点（13，S13）、（14、S14），因为S13>0，S14<0，我们可以确定这个二次函数的图像必然是开口向下的.我们假设这个函数图像与x轴的交点分别是（0，0）、（m，0），那么这个二次函数的对称轴就是m[]2，如果m[]2是整数，那么这个点就是该数列求和的最大值.我们可以确认的是13