复矢量空间及矢量除法讨论

夏海军 张铮 李俊史 金威

【摘要】本文简要介绍了矢量、复数和复矢量的发展历史；证明了复矢量集符合线性空间，相关的基本法则成立；通过对矢量数乘、除的讨论，否定了以往以矢量点积、叉积逆运算定义矢量除法的思路；将复数的乘、除法则引入复矢量空间，定义复矢量除法，并结合物理问题，将矢量除法转化为复数除法.本文从全新的角度提出了矢量除法的新法则.

【关键词】复数；矢量；复矢量；复数除法；矢量除法

一、绪论

（一）关于矢量

矢量是数学和物理学中的基本概念之一，指同时具有大小和方向的一类抽象的几何对象.矢量最初起源于约公元前350年古希腊哲学家、科学家亚里士多德的研究.1687年牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出三大运动定律，其中的推论之一提到：“当两个力同时作用于一个物体时，这个物体将沿着平行四边形的对角线运动，所需时间等于两个力分别沿两边所用时间之和.”这个推论从作用效果上说明了力的合成和分解定理.从18世纪末到19世纪初，欧拉在力矩研究、拉普拉斯在动量矩研究以及泊松在坐标系及射影研究中，都使用了矢量的方法.

矢量思想的孕育不仅有明确的力学背景，而且和位置几何有着直接关系.1840年格拉斯曼在《潮汐理论》中历史上首次建立了矢量分析系统，同时代德国数学家麦比乌斯在《重心计算》中也给出了一个与矢量系统类似的空间分析系统，在《几何加法和乘法》中给出了矢量的矢量积、数量积与混合积的概念.

（二）关于复数

提到矢量，就不能不提及复数.最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，16世纪意大利米兰学者卡当在《重要的艺术》一书中公布了三次方程的一般解法，首次把负数的平方根写到公式中.17世纪的代数学比几何学占有更重要的地位，出现了大量新的數学概念如导数、积分等，虚数的概念也是在这一时期由法国数学家笛卡尔在《几何学》中提出的.18世纪经过法国数学家达朗贝尔、棣莫弗以及瑞士数学大师欧拉的一系列工作，复数渐渐被接受，复数研究也日渐深入.1799年挪威-丹麦测量学家、数学家卡斯帕尔·维塞尔在丹麦皇家科学与文学会上发表的论文中，提出用复数表示平面上的点的方法，明确地给出复数的几何意义，并利用复数的运算来定义平面向量的运算.这一基本数学思想和方式沿用至今.

（三）关于复矢量—复数与矢量的有机结合

19世纪哈密尔顿发明了四元数，对矢量的发展带来重要的影响，并被广泛应用于物理学的各个方面.之后，麦克斯韦在1864年的论文《电磁场的动力学理论》中大量使用矢量分析.19世纪80年代，美国数学家吉布斯和英国数学家海维塞德在各自研究的基础上，特别是在物理学研究中，独立开创了三维矢量分析体系，与四元数的正式分裂，建立了现代矢量理论.