探讨美国职前教师小数迷思概念

曹雅玲

【摘要】作者根据在美国培育职前教师的教学经验，来探讨及分享美国职前教师在小数学习的迷思概念，并且提出有效的教学方法.

【关键词】美国职前教师；小数学习；小数迷思概念

[小数]这个主题在小学数学教育上是一个重要的教学重点，从过去的研究结果及文献中发现，发现不只是学童学习小数有许多的迷思概念产生，即使是职前教师也无可避免.小数的意义是由分数与整数概念之延伸与统整所建立起来的（Behr&Post，1988），小数也可用于为以10为基底的位值系统从两个方向无限延伸到很小和很大的值（van de Walle，1998）.以此观点看来，小数的意义是来自分数；小数的结构是来自整数的位值概念，也可说小数的位值系统是依据整数的位值系统而来的.但当职前教师无法清楚掌握小数概念与问题时，往往会利用这些错误概念来解释，例如将其所知的整数或分数知识过度类推而产生教学的错误.

根据作者教学经验及文献研究的发现，美国职前教师所产生对小数迷思概念可由以下几方面来加以讨论：小数的错误概念与迷思、先备知识不足和小数计算的迷思的几方面来加以讨论.

美国职前教师在小数概念上常出现的错误概念与迷思与先备知识不足

1.小数与整数的不同处

小数与整数的位值都是由左向右递减，每一个位值都是其右边的十倍；小数部分离小数点越远，其位值越小，而整数部分则是离小数点越远，其位值越大.如果职前教师理解不够，就极易产生整数法则的迷思概念（Resnick，et al.，1989），误认为小数点后数字越多其值越大（如4.21会比4.8大）、或将小数点后的数位读成整数.如在比较小数的大小时，有的认为小数点后的数字越多其值越大，也有的认为其值越小，如0.7会小于0.48等错误想法.如在教学中且借由认识小数与整数之间的异同，加强小数与整数结构上的学习，教学的重点应该着重在概念性的发展与小数符号的意义.

2.小数与分数的不同处

小数可被视为不带分母的十进制分数，虽然小数和分数都可以用来代表不满一个单位量的量，但在其符号表征上，却有着极大的不同：分数的分母代表着一个单位量被切割的份数，而分子则代表得到的份数，但小数的数字却只代表得到的份数，而其切割的份数则被隐藏在位值内；分数的分割量是随着分母的不同而得到不同的分数，但小数的分割则被限制在10的幂次方中，如果职前教师理解不够，就极易产生分数法则的迷思概念（Resnick，et al.，1989），误以为小数点后数字越多其值越小（如3.45会比3.2小）、或分数与小数关系是由表面形式互换而成（如5.3和3/5相等）.在分数与小数的转换时，会将分母当整数、分子当小数或分子当整数、分母当小数，如5/8会当成5.8或8.5；小数与分数的不同处以及小数与整数的不同处，如果职前教师对小数的理解不够，就极易产生迷思概念（Tsao，2005）.学生整数与分数的先备知识一方面会帮助学习小数；而另一方面如先备知识不足时也会干扰学生建构正确的小数概念.由此可见，小数的知识是从分数和整数而来，而其迷思亦由分数与小数而来；所以在教学时，应对分数与整数的概念进行澄清.在含有整数的小数中亦可用此种方式进行位元值的教学，如：8.437=8+4/10+3/100+7/1000.这种由分数到小数的转换可以帮助进行位值的教学；此方式不仅可以澄清其位值概念亦可对小数与分数的转换有更进一步的认识，因此可藉由这三者（分数、小数、整数）的连结加深其概念的理解，以避免美国职前教师将分数和整数概念误用.

3.缺乏小数稠密性的概念

也有不少美国职前教师缺乏小数稠密性的概念，也就是不知数与数之间可以无限制的被分割等.从分数的角度切入，不难了解有限小数是由[十等分]分割产生的.百分之一的份量可从十分之一的份量再分割十等分产生的，而千分之一的份量可从百分之一的份量再分割十等分产生的……，因此，十等分的活动可任意无限制继续下去.而此无限制被分割的观念正可用来说明小数稠密性的性质，亦即，任意两个小数之间有无限多个小数存在.教师可利用数线的无限制分割，加强小数稠密性的概念，因为0.1是由1切割成十等份而来、0.01是由0.1割成十等份而来的、0.001是由0.01割成十等份而来的……，有助于理解小数稠密性的概念并且有助于小数知识的建构.在教学进行时，透过等分割的概念，去解释小数的十等分与整数的十倍不同的地方，以解释小数点后面的数值为什么不能精读的原因.

4.小数与数线对应的困难

美国职前教师在数在线读小数或标小数时，常见会弄错两格之间的单位，如0.01与0.02分成十格时，不知两小格间代表的是0.001；且在小数与数线对应的理解的确有其困难.错误的主要原因是无法判断每一小间隔所代表的大小，習惯以1、0.1或0.01当作每一小间隔的大小，再点数间隔来做答.此反映出美国职前教师在小数与数线对应关系时，未能引用分数思考.在小数教学时，是需先透过分数的意义来帮助学生了解小数的意义，除了强调小数和分数之间的关系（1被十等分割后每一等份是0.1和0.1=1[]10；1被百等分割后每一等份是0.01和0.01=1[]100）需作加强外，也要进一步透过整数的十进制记数系统，让学生了解1、0.1以及0.01彼此的关系，也就是说10个0.1等于1和10个0.01等于0.1.教师透过多元化的情境教学，使用不同教具来表征小数符号表示单位被等分割后的结果和了解1、0.1以及0.01彼此的关系.教学中也应强调数在线所给定相关的参考点数值，才能得知数线中的起始点与透过两个参考点间等分割的情况以判断每一间隔的大小，进而能正确标示出数在线各点的小数数值.

5.度量衡单复名数的转换问题

美国职前教师在度量衡单复名数转换时，易未考虑到大单位与小单位间的转换关系，常以小数点来当作大单位与小单位的分界，易放错小数点，如1公尺20公分转换到1.2公尺时，不能顺利的进行转换；将小数点做为大单位与小单位的区隔，如下列错误的发生；8.9公斤是8公斤9公克、

5公尺9公分是5.9公尺，在進行度量衡单复名数转换教学时，复习度量衡单复名数之间的关系，以减少此类的错误出现，

美国职前教师在小数计算上的迷思

1.小数乘法

由于小数加减法是对齐小数点后计算，而小数乘法是向右对齐后来计算，两者间的差异容易让学生感到困惑，因而混用.美国职前教师常见小数乘法迷思有：（1）职前教师最易放错积的小数点，尤以被乘数与乘数的积都是相同小数字的题目最明显；常见的错误例子如：0.2×0.4=0.8、1.27×2.35=298.45；（2）职前教师计算前先将被乘数与乘数的小数点对齐，计算后再将小数点放下；（3）有[乘变大]的错误迷思.由于小数加减法是对齐小数点后计算，而小数乘法是向右对齐后来计算，两者间的差异容易让学生感到困惑，因而混用.针对这类错误迷思问题，建议教师利用先将小数换成数、利用分数的分数倍概念进行解题后，再将分数换成小数，再借此引导学生小数相乘会变小的概念.如：0.2=2/10；0.4=4/10；0.2×0.4=2/10×4/10=8/100=0.08

在小数乘法计算的教学方面，建议教师在透过分数乘法协助学生理解积数小数点的处理原则时，应先复习分母为10的幂次的分数与小数互换，并协助学生从中找出分母与小数数中小数点位置的关系.

2.小数除法

美国职前教师小数除法常见迷思有：（1）职前教师易放错商与余数的小数点；（2）在有余数的除法中，常忽略余数的小数点，或是将余数的小数点对齐移位后的被除数小数点等错误的想法；（3）职前教师很难接受对于除数小于1，商比被除数大等事实.在小数除法计算的教学方面，建议教师可先让学生操作具体物解决除法问题，产生将大单位换成小单位的需求，再透过定位板连结具体操作过程与直式算则，进而理解商和余数小数点的处理原则.此外教师可向学生加强在小数除法中，商与余数的小数点皆要对齐原被除数（未移位前）的小数点这个运算概念，避免商与余数小数点乱放的情况产生.另针对学生对于[除愈小]的迷思问题，建议教师亦可利用小数换成分数，利用分数的除法进行解题后，再将分数换成小数，再借此引导学生小数相除会变大的概念.如：0.9÷0.3=9/10÷3/10=9/10×10/3=6/3=3.在小数的计算上的教学，可以先发展小数的估算能力，小数的纸笔运算能力并不能帮助美国职前教师了解小数的运算，可透过小数的估算，才能对小数的计算有所帮助，而小数的估算应从位值概念开始，而不是去强调强记背诵或符号的计算.

【参考文献】

Behr，M.J.，&Post，T.R.（1988）.Teaching rational number and decimal concept.In T.R.Post（Eds.），Teaching mathematics in Grades K8：Reach Based Methods.Educational Studies in Mathematics，12，399-420.