浅谈数学思维的特性

王丽

在现代心理学中，思维被理解为“受社会所制约的，同言语紧密联系的，探索和发现崭新事物的心理过程，是对现实进行分析和综合中间接概括反映现实的过程. 思维在实践活动基础上由感性认识产生并远远超出了感性认识的界限. ”也有人说：“思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内部规律性. ”把他们的叙述概括起来：思维包括两个方面，一是能反映，二是有意识. 能反映，在这点上，人和动物是一样的，反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认识. 有意识，这是指人和动物的一个显著区别，人脑可以产生意识（头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性），而动物没有意识.

思维是对客观事物的内在联系和本质属性的反映；反映的方式不是直观的，零散的，而是间接的和概括的：① 思维要依靠感性认识，但远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程，其间接性关键在于知识与经验的作用，它随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此知识和经验对思维能力有重要影响. ② 思维之所以能揭示事物的木质和内在规律性，主要来自抽象和概括的过程，以大量的己知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃个别事物的个别特征，抽取他们的共同特征，从而得出新的结论.

数学思维通常是指人们在数学研究与数学学习活动中思想的或心理的过程与表现. 数学思维是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象（空间形式、数量关系、结构模式）的本质和规律性的认识过程. 也可以简单地说，数学思维是数学活动中的思维. 这个过程是人脑的意识对数学对象信息的接受、分析、选择、加工与整合. 苏联学者奥加涅相强调数学思维是人们认识具体的数学科学，或是应用数学与其他科学技术和国民经济等过程中的辩证思维. 王梓坤院士在：《今日数学及其应用》一文中指出：当代数学思维是一种定量思维.

数学思维的特性一方面来自于数学学科本身的特点，即“高度的抽象性”、“严密的逻辑性”、“结论的精确性”以及“应用的广泛性”. 另一方面来自于数学用以认识现实世界现象的方法，正如徐利治教授指出的：数学思维同时还具有类似自然科学思维的“观察、实验、类比、归纳”等特点. 我国众多的数学教育专家与学者在不同的论著中也提出了许多大同小异的看法：广泛性、创造性、概括性、批判性、灵活性等. 又基于众多数学家与数学工作者的数学思维活动的亲身感受和体验，可以认为数学思维具有广泛的涵义，在教育教学中不断探索.

下面介绍数学思维的几大主要特性.

（1）数学思维的深刻性

数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映. 它表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握它的本质，而不被一些表面现象所迷惑，特别是在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病.要培养学生思维深刻性，首先，在概念的教学中，要让学生了解概念的形成，既要知其所以，又要知其然，充分认识概念的内涵和外延，分清一些容易混淆的概念，如正数与非负数，方根与算术根等.在定理、公式、法则的教学中，要让学生完整地掌它们（包括条件结论和适用范围），领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解、不求甚解.

（2）数学思维的广阔性

数学思维的广阔性是指思路宽广，善于从多方面、多角度去思考问题. 它表现在能多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联想，找出多种解决问题的办法，并能把它推广到类似问题中去.思维的广阔性还表现在学生对所学数学知识进行归类与概括，并运用概括扩大解题结果的适用范围，把个别在一定条件下推广到一般情况.

（3）数学思维的灵活性

数学思维的灵活性主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法. 数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强，在数学学习中活跃地表现为解题能力，即有的放失地转化解题方法的能力，灵巧地从一种解题思路转向另一种思路的能力，或是具有超脱习惯处理方法约束的能力，当条件变更时，能迅速找到新的方法，也能随着新知识的掌握和经验的积累重新安排己学的知识，还表现为从己知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到解决向题的实质.

（4）数学思维的批判性

数学思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质.

（5）数学思维的创新性

数学思维的创新性是人类思维的高级形态，它是在新异的问题情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖且有价值地解决问题的过程中表现出来的智力品质；数学思维的独创性品质也可以从用新颖、独特的方法解决熟悉问题的过程中表现出来.

以上是数学思维的几大特性，在培养学生数学思维能力的同时也能使学生的创新能力得以提升. 创新是民族发展的灵魂，数学的创新思维是解决数学问题的关键，如奥赛题等均需要我们创新思维.

数学的核心问题是问题和解，数学思维的特性在解决数学问题中的作用非常重要，能灵活运用以上特性能使我们在解题中遇到困难时，甚至已山穷水尽疑无路时，寻找到柳暗花明又一春的美好境界.

北华大学数学与统计学院，李輝，教授，硕士生导师（通讯作者）.