新课标理念下数本质一致性的教学研究

李惠萍

2022年4月21日上午10点，教育部召开新闻发布会，并向大会发布和介绍新修订的义务教育数学课程方案和语文等16门学科的课程标准。新的方案和标准将在今年秋季开始执行。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）是教材编写方向标，是课堂教学改革的核心，是教学评价的主要依据。它的颁布标志着新一轮课程改革的开始，只有真正将新课标理念落实在平时的课堂教学中，让我们自己的教学发生变化，让我们的孩子发生变化，最终实现《课标（2022年版）》课程理念中所提出三个核心理念，即：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养。

《课标（2022年版）》在关于小学数学四大领域之——“数与代数”的课程变化中，强调“整体性和一致性”，指出：对小学阶段“数与运算”主题，在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。在数概念教学中如何来体现这一理念呢？带着这些问题，笔者带领昆明市部分学校，广泛开展了“数本质一致性”研究，并通过义务教育教科书小学数学教材中的五节研究课，包括：一年级下册“100以内数的认识”、二年级下册“1000以内数的认识”、三年级下册“小数的初步认识”、四年级下册“小数的意义”以及五年级下册“分数的意义”来沟通数本质一致性的研究。

一、数本质一致性是什么？

小学数学数本质研究的具体内容包括：整数概念、小数概念和分数概念的教学研究，以现行人教版教材为例，具体如下表：

通过数概念教学，让学生掌握数的意义、数的顺序、数的组成和数的大小比较，而这四个方面的内容都是以计数单位为核心进行研究的。如数的意义教学，通过一一对应数出物品数量后，抽象出具体的数，在形式上去掉了数量的名词，用符号表示数，而在实质上是舍去了事物的背景，使得数具有了一般性，培养学生的数感。通过添一数数，数出了数的顺序，产生了自然数数列，知道了自然数的个数是无限的，越往后面数数就越大，而在数数的过程中，由于十进计数法的规定，产生了新的计数单位，有了新的计数单位，就能数出更大的数了。因此，不仅仅是“数起源于数”，而“数”是为了人们表达和刻画现实世界。华罗庚所说：大哉，数学之为用，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。宇宙之大可以用自然数来描述宏大世界，然而粒子之微，就要用到小数了。就自然数而言，依据位置值原理，一直向大处扩下去，一个宏大的世界就可以描述了。事物总是两面的，有宏大世界，必有微小世界，微小世界该怎样描述呢？小数，从“1”开始依次十等分，一直分下去以至于无穷，微小世界就可以精准刻画。从应用的角度而言，正因为小数是按照自然数的十进制计数原则创造出来的数，它具有十进制自然数的所有特征，也满足十进制自然数的运算法则，因而用起来十分方便。这也许就是现实生活中小数的应用远比分数广泛的原因。

而“宇宙之大”用自然数来描述宏大世界，整数计数单位随之形成;“粒子之微”小数的计数单位也随之形成，用于刻画微小的世界。小数的意义教学的重点不在于小数是一种特殊的分数，而在于位置记数与“十进”“十分”相同，小数并不是由分数改写而产生的，而是自然数的十进位置值计数规则加以扩展的结果，它是以10的N次幂为分母的分数的另一种表示形式，是十进制记数向相反方向衍生的结果，其本质上就是十进分数的另一种表现形式。小数和整数在形式上是统一的，小数的出现也使得十进制计数法从整数扩展到了分数，数的内涵更加丰富了。

《课标（2022年版）》将“数与运算”作为“数与代数”领域一块重要内容，体现数中有运算，运算中有数，数与运算密不可分。并对数与运算的描述为：数与运算包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。学生经历由数量到数的过程，理解和掌握数的概念;经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识;感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

通过研究，将数概念以“计数单位”统领思想绘制了如下的结构图，并清晰表达出整数、小数、分数之间的本质关联，便于老师们在教学研究中使用。

通过右面结构图不难看出，数本质一致性主要表现在两个方面：一方面数是对数量的抽象，另一方面数是对计数单位多少的表达。

二、整数、小数、分数教学如何体现数本质一致性？

1.在数的意义学习中，渗透“十进制思想”，打通数本质一致性

十进制：是当今世界各国通用的记数进位制。在计数时，每相邻两个单位之间的进率都是十，即逢十进一的法则，也称十进位置制。

“十进制思想”包含了整数数概念、小数数概念关于“数位、计数单位、数的组成、数的数序”的基本知识，把“十进制思想”在一年级就很好培养起来，更好地建立数感，培养符号意识，为后续小数的学习以及整数、小数的运算有着非常重要的意义。那么，对于刚入学的一年级小朋友是否具有十进制思想，我们在学习“10的认识”前进行了前测。

测查一：用小棒表示10？

从这一前测情况来看，结果显示孩子对“1捆小棒”表示“1个十”的模型完全缺乏学习经验，头脑里没有概念，只清楚用10根小棒的数量表示10的基数意义。因此，让孩子经历“1捆小棒”形成的模型，理解“10个一就是1个十”是孩子学习的难点。

测查二：在计数器上拨出10？

从这一前测情况来看，说明孩子基本了解个位和十位的数位概念，但对数位表示的意义比较模糊，特别对十进制思想缺少认知经验。所以，掌握数位的意义、知道“满十进一”，这是孩子学习的重点。

通过前测，发现学生在读数、写数、熟练程度与对数意义的理解程度有着较大的反差，说明学生在认数的过程中存在着较大的认知缺失。一个一个或几个几个数，这种缺失十进制思想对后续继续认识较大的数以及小数，学习整数、小数运算都有着重要的影响。10的认识继续让学生经历数概念的形成过程，体会数学抽象思想。0-9的数概念教学主要从基数含义、认读写、数的顺序、序数含义、大小比较、组成这几个方面加以认识，10的认识继续巩固前面所学知识点。而10的認识编排与0-9的认识又有本质的不同：一是突出十进位值制这一核心概念，涉及计数单位“一”和“十”，数位“个位”和“十位”，十进制“10个一就是1个十”，为后续教学打下坚实的基础;二是10是学生认识的第一个两位数，它的写法和前面认识的数不同：它不再是用一个新的符号来表示，而是用前面所学的“1”和“0”这两个数字符号组合起来。

整数学习中的“十进制思想”对于小数的学习具有较好的迁移作用。小数和整数在形式上的统一，使得十进制计数法从整数扩展到了小数，数的内涵更加丰富了。

2.在数的组成学习中，渗透“位置制思想”，打通数本质一致性

位置制：用阿拉伯数字记数时，每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位就不同，每个数字除了它本身所表示的数值以外，还有位置值，这就是记数的位置原则。“位置制”思想的渗透，不仅可以很好地帮助学生理解“数是对计数单位多少的表达”，而对于后续计算教学中算理的理解也至关重要。例如：

按照数组成的位置原理，三位数乘一位数的运算，其算理就是三位数组成计数单位个数多少的运算。

因此，在整数数概念的教学中，教材在编排上力求通过多种模型图帮助学生建立“位置制思想，了解数的组成实际是对计数单位多少的表达。如下图所示：

3.在计数单位的认识中，沟通计数单位统领数概念，打通数本质一致性

《课标（2022年版）》指出：教材中课程内容的设计应凸显相应知识的数学本质，例如：在小学阶段“数与运算”的内容编写中，数的认识与数的运算均要以“计数单位”作为核心要素统领。华罗庚对于“宇宙之大，粒子之微”的描述，深刻刻画了整数和小数计数单位的产生。

“100以内数的认识”教学中，教师抓出一把珠子，先让学生估一估珠子的数量，然后借助数数神器（百格板）让学生知道10个一排来数，数得更快，不仅激发了学生的学习兴趣，还促进了学生数学思维的发展。填满1格，就是1，填满1行刚好是10颗珠子，10个一是十，整块板一共有10行，也就是10个十，合起来是100，培养学生的数感，感受100是更大的数。在学生利用“百格计数板”数数的过程还可以明显地看出学生先前是以“一”为计数单位数数，而当发现一行有10颗珠子后，就以“十”为计数单位数数更加方便、快捷，感受到了运用计数单位数数的价值，在以“十”为计数单位数数中，得到了“百”这个计数单位，因此，就能得到比100更大的数了。为了体现用更大的数能刻画自然世界，教师提问：还有比100更大的数吗？引出数轴箭头。箭头和省略号的出现为学习新的计数单位和计数单位叠加得到一个更大的自然数提供了肥沃的土壤。随着计数数量的增加，数级从低位向高位扩展，自然数的认识便是从10以内数的认识，到20以内数的认识，到100以内数，到千以内的数、万以内的数、亿以的内数、亿以上的数的认识不断扩充下去，以至于无穷，因此，“100以内数的认识”是计数单位价值认识的开篇课，老师们断不可掉以轻心。

计数单位统领数概念教学过程就是计数单位生长的过程，首先便是引出计数单位（因计数、测量和运算的需要而产生），进而通过数意义的教学，感受计数单位的叠加便产生新的数。教学中应体验计数单位的价值，通过计数单位打通整数、小数和分数之间的关联，感悟数都是计数单位个数的叠加。如，在教学“小数的意义”时可以提问：整数有计数单位，小数有计数单位吗？在教学分数的意义时可以提问：整数和小数都有计数单位，分数有计数单位吗？用计数单位统领数概念的教学。整数、小数和分数都是以“1”为标准，在此基礎上，不断地累加就是自然数;以“1”为标准平均分成若干份后，就产生不同的分数;其中均分成10份、100份、1000份……就是小数。整数和小数，通过“1”关联统一到一个数位顺序表上。（如右图）

如果说整数概念的学习在数数中建立计数单位，那小数数概念和分数数概念的学习，建立在生产和生活中的测量中，当得不到整数“1”的结果时，就要把“1”进行10份10份地分下去，得到了小数的计数单位和分数的计数单位，由于小数是十进分数的特殊形式，因而在这样的细分中，得到了一位小数、两位小数……“小数意义”的学习是整个小学阶段小数学习的关门课，在打通数概念教学本质上的一致性至关重要。教学中，教师首先关联整数的计数单位，对比设疑，引出小数的计数单位，通过对三年级学习“米制系统”一位小数的意义，提出“刚才我们得不到1米时，就把1米等分成10份，用分米来表示，如果不能得到整分米的时候我们就继续把1分米平均分成10份，用厘米来表示，如果还不能得到整厘米数就要等分成毫米来表示;如果还不能得到整毫米数呢……引导学生继续等分下去，感受越分越小，顺势介绍更小的单位——纳米。引导学生在读“1纳米等于一百万分之一毫米”的感受中体会华罗庚提出的“粒子之微”，而这样不断细分下去，更小的小数单位形成，微小的世界就能得以刻画。因此，“小数意义”的学习，只有结合具体“米制系统”，感受等分越来越小，长度单位就越小，才能更好帮助学生抽象出小数的计数单位而理解小数的含义，通过不断地推理抽象小数的计数单位，感受小数计数单位个数的叠加能产生新的小数。

对于“分数意义”中分数单位的学习就能从小数计数单位的产生中进行关联，感受分数的产生和小数产生的一致性，理解分数单位个数的叠加能得到一个新的分数，感受“计数单位”统领数概念的本质。

用“计数单位”做数概念教学的统领，建立数学知识结构，这个知识结构的建立过程实际上是儿童认知结构的形成过程，只有我们教师在数本质一致性上做好研究，才能在“双减”的大背景下，提高课堂教学效率，真正做到数学核心素养的落地。

【注：本成果系人民教育出版社课程研究所课题研究成果。课题名称：小学数学核心素养目标达成及评价策略研究。课题批准号：KC2021-022。】