探寻小数的本质 培养学生的思维

赵会

“小数的意义”是学生在三年级学习“小数的初步认识”的基础上教学的。经过几次教学，总觉得学生对小数的意义理解不够透。所以，我一直在思考：小数的本质是什么？它与整数、分数之间的联系是什么？如何引导学生去理解小数的意义呢？带着对这些问题的思考，我观看了许多课例，一般的教学思路是借助“米、分米、厘米”和“元、角、分”的情境，抽象并建立十进分数与小数的关系，进而理解小数的意义。最近我有幸听了迟辉老师教学的“小数的意义”，给我一种全新的感受：在数数中探寻小数的本质，培养了学生的数学思维。

【片段一】

一、复习导入，唤醒学生已有经验

师：华罗庚说：“数是数出来的。”（伸出5个手指）我们怎么数？

生：1、2、3、4、5一个一个地数。

师：还可以十个十个地数，一百一百地数……

师：这节课我们用数轴再来数数。（出示数轴）

师：（如图1）把0到1000平均分成10份，我们一百一百地数，10个一百是1000，计数单位是…

生：百。（板书：百）

师：（如图2）数轴缩短到第一格，把0到100平均分成10份，再放大，十个十个地数，10个十是100，计数单位是…

生：十。（板书：十）

师：（如图3）数轴缩短到第一格，把0到10平均分成10份，再放大，一个一个地数，10个一是10，计数单位是…

生：一。（板书：一）

师：…“千”“百”“十”“个”是我们用来数数的单位，我们把它叫做计数单位。有没有最大的计数单位？（没有）那我们可以继续数下去吗？（可以）有没有最小的计数单位？

当老师抛出这个问题的时候，学生开始出现了分歧，有学生说：有，最小的计数单位是“个”;有学生说：没有。

师：在数轴的0和1之间点一点，老师在这有个数，它表示什么？

生：是小数。

师：数着数着就数出小数了，你能提出问题吗？

生1：小數还可以数吗？

生2：小数有计数单位吗？

师：带着这些疑问，这节课我们继续用数轴再来数数，说不定数着数着我们就有了新发现。

【赏析】以华罗庚说的“数是数出来的”来导入，要数数，就要有数数的单位，也就是计数单位。我们人类最早认识的计数单位“个”，迟老师带领学生从最原始的数手指开始，再以“个”为起点的基础上借助数轴的动态演示不断满十进一，来数个、十、百……唤醒学生原有的认知，沟通整数计数的相关经验，为后面小数的探究做好铺垫。老师在0和1之间点了一个点，这个数表示什么？那么小数是怎么产生的呢？显然也是计数的需求，当用“个”不能准确地表示一个数量的时候，就产生了更小的计数单位的需求。

【片段二】

二、动手实践，探索新知

师：（出示探究单）请分一分，从数轴上找到这个点，这个点表示的数是什么？

探究单

（小组合作）先分一分，从数轴上找到这个小数。再思考：

1.你是怎么分的？为什么？

2.小数能不能数？怎么数？

1.小组相互配合探究，老师巡视找出典型。

2.汇报交流：

（1）探究一位小数和两位小数

学生1展示：我由前面十进制想到将1平均分成10份，其中的一格是，也就是0.1，数出3个格就是0.3，这个点在0.3和0.4之间，我不知道它是什么。（如图5）

师：这个什么问题，谁来解决？

学生2：探究过程发现平均分成10份以后，一份是，也就是0.1，这个点位于0.3-0.4之间，于是我继续分，将0.3-0.4的这个0.1又平均分成10份，于是其中的一份就是，也就是0.01。又数出这样的两个小格，这个数是0.32。（如图6）

师：还有疑问吗？

生3：数到0.3为什么不数0.4而是数0.31呢？

生2解释：两个格子的长短不一样。

师追问：是呀！刚刚是把0.3-0.4平均分成10份，明明是10个小格，怎么是，那100份是从哪里看到的？

学生2解释：把0.1平均分成10份，而1份有10个0.1，10份就有10个10，就是100份，每份就是，也是0.01。

师：还有别的数法吗？

生3：我是把0到1这段平均分成100分，一份就是，一个小格一个小格地数，32格就有32个，也就是0.32。（如图7）

1.点拨小数的计数单位

师：小数有计数单位吗？

生：有。

师：你认为是什么？

生4：我认为是0.1或0.01，因为刚才我们一直在数有几个0.1和几个0.01。

师：对，板书：0.1是（十分之一），0.01是（百分之一），它们是数小数的计数单位。

【赏析】迟老师利用导学单提出0到1之间这个点怎么表示呢？思考：（1）你是怎么分的？为什么？（2）小数能不能数？怎么数？借助整数学习的经验，学生想到的是把数轴0到1这段平均分成10份，找到一个新的计数单位（0.1），一个0.1一个0.1地数。当发现均分10份还不能找到这个点时，学生会想到把0.1这个单位再次平均分10份，找到另一个新的计数单位（0.01）来数数。在找点的过程中，认识了两个新的计数单位：0.1和0.01，深切体会了小数的产生源于度量的需求，是不断细分单位得来的。在数0.32的过程中，老师的提问：“为什么0.3后面不是0.4，而是0.31呢？”再次强调了格子不同，单位就不同。追问：是呀！刚刚是把0.3-0.4平均分成10份，明明是10个小格，怎么是，那100份是从哪里看到的？教师紧紧围绕计数单位不断地平均分，深入理解了“计数单位”与数的产生，在数数中感受计数单位的累加，真正体会到了小数的意义，更进一步理解了小数的产生和数的组成之间的紧密联系。教师提出有效问题为突破口，引发学生思考，进而围绕关键问题进行深度探究，沟通了学生与知识的连接，而且有效培养了数感。

2.练习，巩固新知（出示数轴）

师：在数轴上认一认、数一数、填一填。

2个是（  ），5个是（  ），7个是（  ），8个是（  ），10个是（  ）。

2个是（  ），也是（  ）;49个是（  ），也是（  ）;

63个是（  ），也是（  ）;它是由6个（  ）和3个（  ）组成。

生汇报：……

小结：像这样，小数点后面有一位数的小数叫做一位小数，小数点后面有两位的小数叫做两位小数。

师：一位小数和两位小数分别用什么样的分数来表示？请你认真观察上面的练习，再来说一说。

生：一位小数是十分之几，分母是10，两位小数是百分之几，分母是100。

【赏析】教师利用练习及时巩固，观察发现规律，总结概念，让知识的形成像流水一样水到渠成。

【片段三】

3.探究三位小数

師：是最小的计数单位吗？

生：不是，还可以继续分。

师：你是怎么想的？

生5：把0.01扩大再平均分成10份，0.1就平均分成了100份，1里面有10个0.1，就是10个100份，也就是1000份，每份是1/1000，就是0.001。

师：那请你找到0.628。

生：独立完成。

汇报：

生：先找到6个0.1，在0.6和0.7之间再找到2个0.01，再在0.62和0.63之间找到8个0.001，合起来就是0.628。

师：0.628中6表示什么？2表示什么？8表示什么？

生：表示先找到6个0.1，2个0.01和8个0.001。

师：三位小数表示千分之几，它的计数单位是千分之一。

师：千分之一这小格已经这么小了还能分吗？

生：能。万分之一，十万分之一…

师：能分完吗？

生：分不完。

师：回过头来想我们课前的争论：有最小的计数单位吗？

生（异口同声）：没有。

【赏析】“小数的本质不是简单地对十分之几的表述，而是位值计数法的拓展”，那么什么是位值计数法呢？位值计数法是指：“按位值制来计数的方法，即一个数的组成，用一组有顺序的数字来表示，每个数字所表示的大小，既取决于它本身的数值，又取决于它所在的位置。”在认识三位小数时，教师对0.628中每个数字所表示的意思的追问，让学生再次感悟到位值计数法的深刻内涵。

总之，小数的意义教学重点不在于小数是一种特殊的分数，而是在于位值制与“十进”“十分”之间的联系，这节课迟老师在执教过程中立足于学生的知识起点，以计数单位为核心，以“十进制”为纽带，课堂上无论是复习整数满十进一，还是学习小数的退1当十，都紧紧围绕“十进制”，帮助学生在头脑中建构了完整的数系。用一条数轴贯穿始终，从已经有的整数拓展到小数，紧紧抓住整数与小数的连接点，带领学生在数轴上不断细分单位，在数数的过程中，让学生感受结构化的数学，结合具体情境，充分理解了小数的本质，有效培养了学生的数感，有效拓宽了学生的思维空间，渗透了极限的数学思想，数学核心素养也得到了进一步提升。