抓实探究过程渗透数学思想

陈丽云

《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称“新课程标准”）明确提出：让学生通过学习获得适应未来社会生活和进步发展所必需的重要的数学知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“数学广角”的内容是通过生活实例呈现一个个数学经典问题，在探究过程中，使学生经历和体验运用数学思想方法解决问题的有效性和价值。本文以人教版六年级数学下册第68～69页例1、例2“鸽巢问题”的教学为例，谈谈在数学广角中渗透数学思想的一些做法。

一、通过课前互动，激发学习兴趣

在教学“鸽巢问题”一课时，课前带领学生开展了两个互动游戏。一是抢凳子（①人与凳子一一对应；②人比凳子多1）。二是变魔术。一副54张的扑克牌，取出大小王，还剩52张，请5人每人随意抽取一张，师准确判断至少有2张牌是同一花色的。在两个游戏中，渗透总有和至少两个概念。

游戏情境中的元素，是学生生活中比较熟悉、生动有趣的素材，可激发学生探究游戏背后的数学原理的强烈愿望。

二、通过自主探究，感悟数学思想

活动一：研究3支铅笔放进2个文具盒。

1.要把3支铅笔放进2个文具盒，有几种放法？请同学们想一想、摆一摆、写一写，再把你的想法在小组内交流。

2.反馈。

生：两种放法（3，0）和（2，1）。

师：请观察两个文具盒里的铅笔数，看看有什么发现？

生：总有一个文具盒至少放进2支铅笔。

师：“总有”什么意思？

生：一定有。

师：“至少”有2支铅笔什么意思？

生：不少于2支。

师：在研究3支铅笔放进2个文具盒时，同学们发现了“不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔”。

在课前互动游戏中渗透了总有和至少两个概念，在研究3支铅笔放进2个文具盒时，学生能顺利迁移。

活动二：研究4支铅笔放进3个文具盒

1.要把4支铅笔放进3个文具盒里，有几种放法？请同学们动手摆一摆、写一写，再把你的想法在小组内交流。

2.反馈。

生：四种放法（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

师：这次有四种放法，同学们请再次观察三个文具盒里的铅笔数又有什么发现呢？

生：还是发现总有一个笔盒至少有2支铅笔。

师：像这样一种一种地罗列出来的方法，我们把它叫做“枚举法”。

师：你能琢磨琢磨看有没有更直接的办法，只摆一种，就能解释这个结论吗？

生：假设每个文具盒都先放进一支，还剩一支不管放进哪个文具盒，总有一个文具盒至少有2支铅笔。

师：能解释一下你的想法吗？

生：假设在每个文具盒里放1支铅笔，其实就是用“平均分”的办法把4支铅笔平均分给3个文具盒，剩下1支任意放进哪个文具盒里，那个文具盒里就有2支铅笔了。

师：这位同学的思路真清晰。用假设的方法来分配铅笔，我们就叫它“假设法”吧。

师：谁能用算式来表示这位同学的想法？

生：4÷3=1……1。

师：商1表示什么？余数1表示什么？

生：商1表示每个文具盒里有一支铅笔，余数1表示还剩下一支鉛笔。

师：在探究4支铅笔放进3个文具盒的问题时，同学们用了“枚举法”和“假设法”来说明理由，你觉得哪种方法更明了更简单？

评析：“鸽巢问题”选取学生熟悉的生活事例，为原本抽象深奥的数学思想搭建了丰富的现实背景。通过让学生经历观察、思考、琢磨、交流、推理、解释等富有思维成分的两个活动来弄清事理，建立初步的数学模型，让学生感悟数学思想，体验数学思考，培养学生从数学的角度来解释问题。

三、通过合作研究，建立数学模型

“鸽巢问题”是较为抽象的数学问题，学生理解并抽象出抽屉原理有一定的难度，在学生经历了“枚举法”和“假设法”两种数学思考之后，再通过合作研究建立数学模型，深化推理。

活动三：研究铅笔数比文具盒数多1的情况。

师：请各小组快速研究以下几个问题。

把5支铅笔放进4个文具盒，是不是总有一个文具盒至少有2支铅笔？为什么？

把6支铅笔放进5个文具盒，是不是总有一个文具盒至少有2支铅笔？为什么？

把7支铅笔放进6个文具盒，是不是总有一个文具盒至少有2支铅笔？为什么？

把100支铅笔放进99个文具盒，是不是总有一个文具盒至少有2支铅笔？为什么？

生分组板书：5÷4=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

6÷5=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

7÷6=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

100÷99=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

师：从刚才的探究活动中，你能总结出求至少数的方法吗？

生：我们发现只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。可以表示为：至少数=商+1

师：同学们很善于思考，真棒！

活动四：如果铅笔数比文具盒数多2呢？多3呢？多5呢……是不是也能得到“总有一个文具盒至少有2支铅笔”的结论呢？

下面请用刚才总结的方法再研究以下问题：

1.如果把8个苹果放入4个抽屉中，至少有几个苹果被放到同一个抽屉里呢？

2.如果把8个苹果放入3个抽屉中，至少有几个苹果被放到同一个抽屉里呢？

3.如果把8个苹果放入5个抽屉中，至少有几个苹果被放到同一个抽屉里呢？

生板书：8÷4=2

8÷3=2……2

8÷5=1……3

师：谁能解释这一个结果？

生描述现象，教师板书总结为：

至少数

物体个数÷抽屉个数=商数

（物品数）（容器数）8÷4=2 无余数 商

8÷3=2 ……2 有余数 商+1

8÷5=1……3 有余数 商+1

师：那可以换一种物品吗？比如鸽舍里关鸽子、袋子里放小球等，如果可以换，那要怎么描述呢？

生：可以换啊，我们可以把苹果、小球、鸽子等都叫做物品数，把鸽舍、盤子、袋子叫做容器数。

师：这位同学归纳得很好，我们今天所研究的求至少数的方法最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”或者“抽屉原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题。

将活动建立在学生已有的生活经验基础上，使教师的教基于学生的生活经验进行。

四、通过有效训练，巩固数学思想

小学数学教学中，训练是不可忽视的重要环节，在学生理解数学模型，初步形成数学思想之后，设计有梯度的练习，在练习中再次指导学生对现象加以解释，并作适当拓展，使学生再次体验运用数学思想方法解决问题的价值。在“鸽巢问题”训练环节，设计了以下基本练习和拓展练习。

1.基本练习。

做一做：请用鸽巢原理解释以下现象。

（1）7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？（生：解释现象。）

教师示范描述：假设一个鸽舍里飞进1只鸽子，5个鸽舍最多飞进5只鸽子，还剩2只鸽子，所以无论怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。列式为：7÷5=1（只）……2（只）至少数=1+1=2

（2）9只鸽子飞回4个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？（生：解释现象。）

教师示范描述：假设先让一个鸽舍里飞进2只鸽子，4个鸽舍最多飞进8只鸽子，还剩1只鸽子，所以无论怎么飞，至少有3只鸽子要飞进同一个笼子里。9÷4=2（只）……1（只）至少数=2+1=3

2.拓展练习。

请用鸽巢原理解答以下问题。

（1）在任意15人当中，至少有（ ）人的属相相同。

（2）六年级有370名学生，至少有（ ）人是同一天生的。

评析：“鸽巢原理”在生活中应用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“鸽巢原理”。通过这样几个片段的教学，有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。有效地培养学生的动手操作能力、小组合作能力、逻辑思维能力和归纳推理能力，加上学生已有的生活经验，能更好地感受到用“鸽巢原理”解决问题的价值。