几何直观让学生的思维从晦涩走向简约

郑文庆

几何直观是利用动作、图形洞察数学本质的一种方式，既有形象思维的特征，又有抽象思维的特点。它可以通俗、生动地揭示数学的本质，把复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生探索解决问题的思路，预测结果，促进数学理解，提高思维转化能力。那么，如何借助几何直观，让学生的思维从晦涩走向简约呢？

一、借助动手操作，让思维从抽象走向直观

动手操作是一种以“动”促“思”，调动学生全身心投入学习过程的有效形式。因而，在课堂上，要尽量给学生提供动手操作的机会。当然，操作活动的目的是为了使学习内容直观化，让每一位学生都有机会参与，为他们积累丰富的感性认识。当然，在操作活动中，不能为操作而操作，而应有意识地引导学生自觉地思考、探索，学会用自己的语言说明操作的过程以及得到一些结论。

如，单元试卷中有这样一道填空题：“把一条绳子对折再对折，然后从中间剪开，一共可以剪成（ ）段。”学生的答案可谓五花八门，但大体上有三种：3段、4段和5段。

其实，只要教师留意，就能发现：这种题不仅在低中年级出现，也常在高年级出现，甚至在奥数竞赛中也经常出现，只不过是对折的次数不同罢了。

既然这种题型出现的频率较高，而学生答题的正确率又很低，何不作为实践活动的第一手素材，引导学生探究一下这个问题呢？

于是，教师事先布置学生准备好剪刀、羊毛线（代替绳子）等工具和材料，上一节数学实践活动课——“剪绳子问题”。教师先让学生剪一剪，积累一定的感性认识。接下来再让学生填一填，完成下面这个表格，并带着问题思考：剪成的总段数与对折的次数的关系如何？

总段数与对折次数关系统计表

学生填完表后，剪成的总段数与对折的次数的关系已经渐渐明朗、清晰起来，初步形成规律：一根绳子对折一次后，从中间剪开，会剪成3段（两端加一，即2+1）;一根绳子对折两次后，从中间剪开，会剪成5段（2×2+1）;如果继续对折，从中间剪开，对折几次，就会得到几个2相乘再加1的段数。

看似枯燥的一道思考题，因赋予其操作的成份，“化静为动”，把静态的知识转化为动态呈现，动静结合，就能让学生在具体、直观的操作活动中理解数量关系，问题的解决也就变得触手可及乃至水到渠成。

二、依托画图方法，让思维从障碍走向疏通

画图也是一种重要的几何直观方法。教学中，教师可以引导学生借助图形分析题意，包括分析已知条件和问题，并逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合理转换，从而解决实际问题。

如，“36人植树，每组3人，可以分成多少组？”这道题从除法的意义来说是包含除法。学生从二年级第一次认识除法到三年级的继续学习，包含除法一直是难点。为此，教学时，教师采用了画图的方法，并结合图形理解问题（如图1）：

图1

36人植树，每组3人，能分成多少组，就是要求36里面包含了多少个3？

这样的直观演示符合学生的思维发展规律，也降低了难度，便于学生领会、掌握。

画图的方法不仅能帮助学生理解问题，也能帮助他们理解数量关系。如，有一道这样的题目：“下课时，小朋友们围成一圈做游戏，从小明开始向左数，小红是第6个人，从小红开始往左数，小明是第4个人，一共有几个人？”很多一年级学生感到很难，或者能够想出结果却不会列算式，教师不妨引导他们用画图的方法帮助理解数量关系。（如图2）

图2

通过画图，将复杂的问题变得简单，这样学生就很容易列出算式：6+4-2=8（人），也理解了“-2”是因为在计算总人数时，小明、小红分别多算了一次。

三、凸显形数结合，让思维从模糊走向清晰

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来。通过“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而让思维从模糊走向清晰。

如，看图了想一想，可以把这个算式转化成怎样的算式计算。

图3

教学时，教师可以分三个层次进行教学，在解决问题的过程中培养学生的几何直观能力。第一层次：指导看图，学会转化。呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法。当学生思维受阻时，才出示直观图，先结合各个分数理解直观图中各部分的意义，再启发学生将其转化为1-进行计算。第二层次：适当拓展，突出直观。教师将算式拓展到1++++…+，要求学生选择上面的方法进行计算，学生一般会根据画直观图的方法，将算式转化为1-进行计算。这时，教师要引导学生思考：为什么要用画直观图的方法？使学生体会数与形的完美结合，从而将复杂的算式转化成简单的算式进行计算。第三层次：深度思考，强化直观。教师可以启发学生观察分母的特点：分母分别是2、2个2相乘、3个2相乘、4个2相乘……在直观图上对应的是先把正方形平均分成2份，取其中的1份;再把剩下的图形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的图形与剩下的图形相等。借助直观图，要求涂色部分的大小，只要用单位“1”减去剩下图形的大小。从而，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题的同时，又初步培养了学生的几何直观意识。

四、注重迁移类推，让思维从肤浅走向深刻

小学数学教材的编写有两条线索：一是处于表面的知识;二是隐含于知识背后的模型思想。教师只有创造性地使用教材，变“教教材”为“用教材”，做到源于教材而高于教材，才能领会知识深处的数学基本思想。

如，人教版数学一年级下册第73页的一道思考题：跳绳比赛中，小红和参加比赛的每个人握一次手，一共握了39次。参加跳绳比赛的一共有多少人？教学时，教师可以先通过握手、观察、思考等一系列数学活动，为学生提供充裕的实践活动的时间和空间。接着，让学生选择自己喜爱的图形，分别表示握手的人数和参赛的人数，自主探索图形中隐藏的秘密：参赛人数比握手人数多1（握手人数比参赛人数少1）。再让学生举例子，根据思考题的数量关系进行“异”题“同”构：每道题目的数量关系相似，通过类比训练，一方面有助于培养学生的联想思维能力，另一方面有助于分析、比较异同，抓住数学本质。最后，借助当堂训练，既沟通了本册教材第12页“我们一共有10个男生，老师让相邻两个男生之间站一个女生。一共可以站进多少个女生？”与这道思考题数量关系的联系，又沟通了小学数学中常见的植树问题、上楼问题、闹钟问题，乃至锯木头问题、电线杆问题、插彩旗问题与这道思考题的联系，发现了“间隔数与点数之间的关系”的规律，实现了有效建构。

教学诸如此类的思考题时，教师千万不能走过场、就题论题，而应当有意识地抓住典型材料，把各个知识点连成线、形成面、结成体。解题过程中，部分学生也许不甚理解，但大部分学生亲身经历、体验、感悟模型的建构过程，基本上会用自己的语言来表述，在头脑中留下久远而深刻的记忆。到了高年级，碰到类似的问题，他们沉睡的思维记忆就会重新被激活，解题的关键就会被抓住，数感也得到培养。

◇责任编辑：徐新亮◇