把握概念本质促进有效建模——《分数与除法》教学及思考

○唐山市汉沽管理区皂甸小学 武国芬

把握概念本质促进有效建模
——《分数与除法》教学及思考

○唐山市汉沽管理区皂甸小学 武国芬

·《分数与除法》一课，教师以生活情境和问题情境贯穿始终，借助直观的学具操作，以感知、发现、整理、归纳、应用为主线，引导学生在动手操作、合作交流的学习过程中进行观察、比较、发现，在思维碰撞中加深对分数与除法的关系的理解与掌握，有效构建数学模型。

数学模型是对实际问题的一种数学表述，能概括地或近似地表达系统规律的数学结构。如何让学生真实地、完整地经历对实际问题进行提炼、抽象、建模、验证的过程，从而主动地、有意义地建构和应用数学模型，值得教师思考。教学《分数与除法》一课，教师致力于创设平等、和谐、自主、合作的学习环境，以激发学生学习的积极性、主动性为基点，对学生主动地、有意义构建分数与除法关系的数学模型进行了有益探索和尝试。

一、课前热身，导入新课

激活认知：（课件出示）把16个蛋糕平均分给4个人，每人分到几个？把4个小蛋糕平均分给4个人，每人又分到几个？

设疑引新，出示例1：如果把1个蛋糕平均分给4个人，每人分得多少个？

课前热身，复习整数平均分除法，激活学生已有的知识经验，为新知的学习搭建阶梯。在此基础上，顺势提出“1个蛋糕平均分给4个人”的问题，引发认知冲突，为分数与除法模型的构建提供载体。

二、操作探究，构建模型

1.沟通联系。

（1）学生读例1列式并说明其含义。1÷4=？

（2）交流共享：观察例1的算式，与前面的除法算式有什么不同呢？商是多少？被除数比除数小，商不够1，不是整数，可以用小数0.25表示，还可用分数表示。

（3）动手操作：请用圆形卡片代表蛋糕分一分，看看每人到底能分到多大的蛋糕。

（4）启发思考：如果把一个蛋糕平均分给5个人、6个人、7个人呢？每人又分得多少个呢？

（5）揭示课题：两个数相除，不能得到整数的商时，商还可以用分数表示，那如何用分数来表示呢？今天我们就来研究分数与除法的关系。（板书课题）

教师把教材中例1的“平均分给3个人”改编成“平均分给4个人”，其目的是便于学生动手操作，直观认识个蛋糕。通过“分蛋糕”的情境，从除法的意义角度理解算法，从分数的意义角度解释结果，使学生初步认识到分数可表示“两个整数相除的商”，初步感受分数与除法之间的联系，为突破教学难点铺路搭桥，为模型的构建夯实基础。

2.探究关系。

出示例2：如果把3块月饼平均分给4个人，每人分得多少块？

（1）学生列式并说明其含义。3÷4=？

（2）操作探究：先用圆形卡片代表月饼来分一分、拼一拼，看看每人到底能分到多少块月饼。然后在小组内说一说，你是怎样得到结果的，还有没有不同的分法。

（3）汇报交流。（学生边操作演示，边解释说明。）

方法1：一块一块分，先把每个圆形纸片平均分成4份，每人每次分得块，分了3次，每人共分得3个1 4块，也就是块。

方法2：把每个圆形纸片平均分成4份，3个圆形纸片平均分成12份。再把12小块平均分成4份，每份是3个块，把3个块拼在一起，每人分得的也是块。

方法3：把3个圆形纸片叠在一起分，平均分成4份，每份是3块的，再把每份的3个块拼在一起，每人分得的也是块。

动手操作与汇报交流让学生直观感知并经历知识产生和发展的过程，无论哪种分法都强调了平均分，把握住数学本质，实现了对分数可以表示两个数相除的商的意义的扩充，让学生初步感受分数的两种含义，一是从分数的意义角度上理解，二是从除法意义的角度理解，即表示具体的数量。

3.构建模型。

（1）开放理解。你想把（ ）块月饼平均分给（ ）个人，每人分得这块月饼的，是（ ）块月饼。

启发思考：观察上述的算式，你发现了什么？

（2）整理归纳：当两个数相除得不到整数商的情况下，商可以用分数来表示。即

讨论交流，明确：除数不能是0，所以分母也不能等于0，用字母a÷b=（b≠0）来表示更简便。

教师以数学与生活的联系为基点，以抽象数学之间的联系为落脚点，设计极具思维含量的数学问题，引发学生开展深入探究，在合作交流、质疑问难中，展现思维过程，促进学习资源的共享，从而使学生逐步加深对分数与除法关系的认识，充分经历构建分数与除法关系的数学模型的过程。

4.深化理解。

师：根据你对分数与除法关系的理解，请完成表格。（分数与除法的联系和区别）

明确：分数与除法虽然联系密切，但二者还是有所区别的。分数是一种数，除法是一种运算。

数学建模应是以理解为基础的、主动的、有意义的建构过程。建模过程中学生是否完成意义建构，重要因素之一取决于学生是否对知识形成深层次的理解。为此，教师采取尝试探究、辨析交流的方式，将问题抛给学生，让他们各抒己见，在辨析中明理，对分数与除法的联系与区别形成明晰完整的认识，有效构建分数与除法关系的数学模型。

三、巩固应用，拓展延伸

1.填一填。

2.在（ ）里填上正确的数。

3.邢薇和秋燃两位同学用彩带包装礼品盒，请你比较一下她们用的彩带的长短情况。

邢薇：我把一根3米长的彩带平均分成5段，用了其中的1段。秋燃：我把一根1米长的彩带平均分成5段，用了其中的3段。

练习题基础性与拓展性并重，强化对数学模型的巩固和应用。第2题，让学生充分感受到两个整数相除，商可以用分数表示。反过来，分数也能看成两个整数相除。第3题进一步提升学生对分数意义的理解，感受到数学的应用价值。