斜率连等式 求解公切线

王安寓

(江苏省南京市六合区实验高级中学)

针对学生处理不好两个曲线的公切线问题,笔者收集整理了两条曲线的公切线问题,并给出一个行之有效的方法——斜率连等式,消元解方程组,以期帮助学生能将两条曲线的公切线问题做一个总结,形成系统知识,内化方法,掌握数学本质,形成数学学科素养.

在近期学校组织的周测和午练中,笔者所教班级中部分学生对两条曲线的公切线问题处理不是那么如意,正答率较低.笔者调查了学校其他班级的情况,和笔者所带班级情形类似.是什么原因造成学生不会求解两条曲线的公切线问题?如何帮助学生学会解决两条曲线的公切线问题呢?求解数学问题,要具备:知识——相应的知识点,方法——相应知识与题的求解方法或数学思想,以及个人的思维品质——复杂问题的分析能力与分解能力、繁琐计算的耐性韧性、求解过程中的思维监控等等.

一、知识储备

如何求解两条曲线的公切线问题呢?首先,曲线的公切线问题要应用导数的几何意义——切线斜率恰是该点的导数值;其次,要应用两点的斜率公式,这样就建立了一个等式链,然后采用消元法解方程组,求出切点和斜率,再用点斜式方程得切线方程.

细节处理时,还要先分清是在两条曲线的公共点处的公切线,还是在非公共点处的公切线,这涉及到如何设切点的问题.

综上,求解两条曲线(函数图象)的公切线问题,知识储备是:①导数的几何意义——切线斜率;②两点的斜率公式;③消元法解方程组;④观察方程组的式子结构可能对解方程组有帮助.

二、公切线题型

两条曲线(函数图象)的公切线问题,从切点的属性上大致分为两类:

(1)在两曲线的公共点的公切线问题;

(2)在两曲线的非公共点的公切线问题.再细化为四类:

①求公切线的切点坐标;

②求公切线方程;

③由公切线求参;

④以公切线为工具解决其他问题.

其中第③类又分为三类:(ⅰ)由公切线求参数的值;(ⅱ)由公切线求参数的范围;(ⅲ)由公切线的条件求参数范围.根据设问或呈现的方式,还可以改编为存在性问题、探索性问题等等.上述四大类6小类题型,都可以采用一种方法——斜率连等式求解.由斜率建立等式关系,再通过消元等手段解方程(方程组)或转化为函数的值域解决问题.

1 公共点处的公切线

公共点处的公切线问题相对简单,是两个函数的公切线问题的基础题.此类题目主要是求参数的值.

1.1 已知公共点处公切线相同求参

在两个函数的公共点处存在相同的切线,研究参数的值是常规命题.求解该问题的方法是:求导、斜率连等式、解方程(方程组)得切点,再代入函数求参.

【例1】(2022山东青岛模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3lnx-x,若y=f(x)与y=g(x)的图象有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为( )

A.2 B.5 C.1 D.0

【分析】题目含有一个参数m,只需求出切点坐标,代入y=f(x)即可.如何求切点坐标呢?抓住公共点处的切线相同,求导、斜率建立方程,解方程即可.

【解析】设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中a>0,

又由g(1)=-1,得公共点的坐标为(1,-1),

将点(1,-1)代入f(x)=-2x2+m,可得m=1,故选C.

【点评】例1的求解流程是:由导数到斜率、由斜率相等到公共点的坐标、由公共点的坐标到参数值,斜率相等是解题的关键.

将切点给定,改编例1中的函数所含字母个数,得到例2.

A.0 B.π C.-2 D.3

【分析】由公切线得到在公共点处的切线斜率相等,建立一个方程,再将公共点坐标代入函数,又得到两个方程,三个方程三个未知数,解方程可得结果.

∴f′(0)=a,g′(0)=0,∴a=0.

又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点,

∴f(0)=b=2,g(0)=1+c=2,

解得c=1,∴b+c-a=3.

【点评】例2看似未知数的个数较多,实际上比例1还要容易.求解时仍需要由导数得斜率,构建方程.

1.2 以公共点处的公切线为工具研究恒成立

解决函数恒成立求参问题,方法多样.通过适当转化,可以构造两个具有公共点的函数,以公共点处的公切线为临界值,完成临界值的探索,再转化为函数恒成立问题,研究函数的最值,完成参数范围的求解,是一种具象“形”的方法.

【分析】我们容易得到:当分母不等于0对x≤1恒成立时,-10,绝对值符号就能轻松化解且能去分母,此时我们得到ex≤x2-2ax+1,然后再研究特殊点,发现左右两边是两个函数且它们都经过点(0,1),研究在公共点的切线,借助公切线研究恒成立问题.

图1

图2

【点评】解析求解过程分为三个大的逻辑段:(1)分母不为0对任意x≤1恒成立,求得实数a的大致范围,并确定分母的正负号帮助去绝对值符号;(2)引入两个函数g(x)=x2-2ax+1(x≤1)和h(x)=ex(x≤1),并观察出g(0)=h(0)=1,将条件转化为函数不等式g(x)≥h(x)对任意x≤1恒成立,进而转化为g(x)和h(x)在x=0处有相同的切线,即g′(0)=h′(0);(3)用导数得到切线的斜率,求出a的值并检验.上述三个逻辑段中,最关键的是第(2)个逻辑段.定点的发现是解决问题的突破口.

在解析中易错点是对不等式F′(x)<0的求解.如果不知道F′(x)=0有2个不等根,那么会造成F′(x)<0的解为0

解析是以公切线为工具,由直到曲,破解临界,找到临界值a,直达目标,再转化为证明不等式恒成立.当然,作为填空题,后期的证明在考场上可以省略(考场上只要一个感性认知,完成填空即可),在考后作进一步研究时再缜密推理.

2 非公共点处的公切线

两个函数在非公共点处的公切线问题是近几年考试的热点,对逻辑思维能力的考查有较高的要求,具有很好的选拔性和区分度.求解函数公切线问题的常用方法仍是由斜率建立连等式,再消元转化.

2.1 求公切线的切点坐标

由公切线求切点坐标,计算的难点在于如何消元,特别是含有指数、对数式的连等式.常规的多项式方程易于处理,而超越方程较难,其突破难点的方法是整体代入思想的灵活运用.

【分析】题设没有明确给出点P是两个函数的公共点,那么,就不能按照公共点处的公切线求解(实际上曲线C1与曲线C2没有公共点).设出两个曲线的切点,由导数、斜率公式建立连等式,消元求解.

∴公切线斜率

且(3-x2)(x2-x1)=x2-2-x1ex1+x2-2,

【例5】已知曲线y=ex在点(x1,ex1)处的切线与曲线y=lnx在点(x2,lnx2)处的切线相同,则(x1+1)(x2-1)等于( )

A.-1 B.-2 C.1 D.2

【分析】在不同的点的切线相同,自然想到由导数、斜率公式得到一个连等式,对连等式变形,完成目标式子的计算.

2.2 求公切线的方程

如能求得公切点,那么就能求出公切线方程.公切线方程的求法只是比求公切点多一步:将求得的公切点横坐标代入导数得切线斜率,再由点斜式得公切线方程.

【例6】已知f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=lnx+2,直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为________.

【分析】求两个给定函数的公切线,常规思路是求导、斜率公式建立连等式,消元求出切点横坐标,点斜式求得公切线方程.

当x1=0时,切点为(0,1),斜率为1,切线方程为y=x+1;当x1=1时,切点为(1,e),斜率为e,切线方程为y=ex.

综上,所求切线l方程为y=ex或y=x+1.

【点评】构建连等式后,如何消元?合比定理能让分式的分母简化;代入消元,是基本操作,分解因式是常用的解方程手段.

设直线AB与函数y=f(x)的图象相切于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<0

【分析】表面上看,是求一个函数的切线,实质上仍是求两个函数的公切线.函数f(x)是分段函数,与两段分别相切的直线正是两个函数的公切线.

2.3 公切线方程中的存在性问题

改变命题呈现形式,与存在性问题、探索性问题结合,我们有以下题目.

【例8】已知曲线f(x)=-2x3+3x2+12x-11,g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,是否存在实数k,使得直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.

【分析】存在性问题的格式是:先承认存在,再由条件寻找.本题的本质仍是求公切线方程.

【解析】显然直线m恒过点P(0,9).

假设存在实数k,使得直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.

设切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),易得f′(x)=-6x2+6x+12,g′(x)=6x+6,

∴存在实数k=0,使得直线m:y=9是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线.

【点评】直线m恒过定点P,问题就转化为过定点作两个函数的切线,将公切线问题转化为过一点作函数的切线问题,大大降低了问题求解的难度.由此建立的连等式更长一些,计算时可先选择一个好算的,再代入验证.

【分析】本题与例8有很大区别.例8可以转化为过定点的切线问题,例9没有定点.求解时仍按“导数、斜率公式建立连等式、消元解方程组、点斜式写方程”的操作流程实施.

由F′(t)>0有t>3;由F′(t)<0有0

2.4 公切线求参

由公切线求参是对逆向思维的考查.由公切线求参又分为两大类:求参数值、求参数范围(或参数最值).由公切线求参数的值,往往是第1类“2.2.1 求公切线的切点坐标”的逆向思维命题,即在“2.2.1 求公切线的切点坐标”的基础上,将求得的切点代入原函数即可完成求参数的目标.由公切线求参数范围,往往寓“动”于题,对考生的综合能力要求较高,也是各种考试中常见的具有选拔功能的高档试题.解决此类问题,常常转化为函数值域,或转化为动态分析直线与曲线的位置关系,通过分析字母的几何意义求得参数的范围.

【例10】(2022河北邯郸模拟)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈R),直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0),若直线l与g(x)的图象也相切,则a等于( )

A.0 B.-1 C.3 D.-1或3

【分析】由f(x)的导数、切点得公切线斜率,再由g(x)的导数、斜率构建连等式,解出参数.

【解析】由f(x)=xlnx求导得f′(x)=1+lnx,则f′(1)=1+ln1=1,于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的斜率为1.

【点评】给出一个函数的切点,研究两个函数的公切线,是最基本的题目,也是简单题.沟通二者的是公切线的斜率,由此建立连等式,解方程组即可.

【例11】设函数f(x)=x2+1,g(x)=2alnx+1存在公切线,求实数a的最大值.

【分析】由导数、斜率得到连等式后,两个方程三个未知数,可以通过代入等方法消元,将参数a表示为某个字母的函数(可选择切点的横坐标,亦可选择切线斜率k),通过函数的值域或最值完成试题的解答.

令F(x)=2x2-2x2lnx,

则F′(x)=2x(1-2lnx),

【点评】整体代入和单列代入是消元的常用手段.用x2表示a后,就转化为求新函数F(x)=2x2-2x2lnx的最值,熟悉的操作:导数、单调、极值(最值).

【例13】(2022南昌模拟)已知曲线C1:y=ex+m,C2:y=x2,若恰好存在两条直线l1,l2与C1,C2都相切,则实数m的取值范围是________.(答案:(-∞,2ln2-2)).

例12、例13与例11都是类似的题目,只是参数的位置不同,但求解的方法基本相同,在细节处理上存在一点差异,读者可以试着做一做.

2.5 公切线为工具

运用公切线的临界性,再通过旋转,就可以解决一类方程的解的个数问题或函数恒成立问题.

【例14】(2023江苏连云港一模节选)已知函数f(x)=x2+xlnx.设关于x的方程f(x)=ax3有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.

【分析】常规思路是将条件方程转化为x+lnx=ax2后,引入新函数F(x)=x+lnx-ax2,研究函数的单调性、极值,讨论繁琐,不易理解.如果移项,那么就能转化为两个函数的关系,通过公切线这一个临界位置,研究两个函数的交点,就相应方便很多.

【解析】注意到x>0,故方程f(x)=ax3化为x+lnx=ax2,

设F(x)=x+lnx,G(x)=ax2,x>0,

显然F(x)在x>0上单调递增,且值域为R,F(x)与G(x)的图象如下(图1～4):

图1

图2

图3

图4

显然,当a=0时,G(x)=0,是一条直线,其与y=F(x)的图象有且只有一个交点,不合题意;

当a<0时,G(x)是开口向下的抛物线,由图知,y=G(x)的图象与y=F(x)的图象有且只有一个交点,不合题意(如图1);

当a>0时,G(x)是开口向上的抛物线,设y=G(x)与y=F(x)相切于P(m,n),

则n=m+lnm=am2,

代入m+1=2am2,得a=1(如图2);

当0

综上,所求实数a的取值范围是(0,1).

【点评】求解本题有两个难点:(1)将方程f(x)=ax3化简后转化为两个新函数的图象交点问题;(2)运用公切线研究两个新函数的位置关系.引入新函数,是一种创造意识;运用公切线研究新函数位置,是应用意识.数学素养是突破难点的有力武器.

3 公切线的综合应用

公切线是两个函数的临界直线,以公切线为着手点,以运动为契机,寓动于题,以此来解决函数的综合问题.

【例15】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,f′(-1)=0.

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线;如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由;

(Ⅲ)如果对于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范围.

【分析】注意到第(Ⅱ)问中的公切线恰是不等式f(x)≤kx+9≤g(x)的边界线,因此,可考虑作出图形,观察图形,结合旋转,研究直线y=kx+9的斜率的范围.

【解析】(Ⅰ)∵f′(x)=3ax2+6x-6a,∴f′(-1)=3a-6-6a=0,∴a=-2.

∴存在k=0,使得直线m:y=9既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知过A(0,9)作曲线y=f(x)的切线有且只有一条y=9.

易求f(-2)=-7,记B(-2,-7).

综上所述,k的取值范围为[0,8].

【点评】切线作界,直线旋转,直观得到斜率k的取值范围,是本题的最优解法.

(Ⅰ)求证:y=f(x)与y=g(x)图象关于点A(1,0)对称;

(Ⅱ)设直线l:y=k(x-1)夹在两个函数y=f(x)与y=g(x)之间,即f(x)≥k(x-1)≥g(x),试求实数k的取值范围.

【分析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)注意到第(Ⅰ)问中的点A恰是直线l:y=k(x-1)恒过的点,联想两个曲线关于点(1,0)对称,那么,两个曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线必过定点(1,0),且夹在两个函数之间,通过图形,即可求得斜率k的范围.

【解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)注意到A(1,0)是曲线y=f(x)与y=g(x)的对称中心,故曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线必过定点A(1,0),

【点评】例16是由例4改编而成,其求切点坐标的方法较例4的方法快捷(巧用了对称中心,当然也可以采用例4的解法,只是运算量增大),而实数k的几何意义恰好是直线的斜率,从而借助公切线,动静结合,完成了目标的求解.

以上16道题目,都是以公切线为切入点的精典试题,都能运用导数、斜率构建连等式求解,多题归一,两个曲线的公切线问题是培养学生的创新思维、解题能力和应用意识的良好素材,引导学生深入思考和研究,归类总结,形成一类题型一种方法,提升解题能力,内化数学素养.