注重转化思想 落地核心素养——以基本不等式为例

索朗卓嘎

(拉萨那曲第一高级中学)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确了数学学科的核心素养与课程目标,要求学生能自主、自觉地运用所学数学知识和数学思维进行理性思考、逻辑推理,以解决相关问题.若要达到该目标,需要教师采用合适的方式,循序渐进,逐步引导学生夯基提能、训练思维、开拓视野、学以致用.

在笔者看来,高考改革进程中,教师要把重心放在新教材的变化、知识模块的变动、新高考考法与侧重、课堂授课方式等,认真钻研、探究,提炼出一套适合学生的学习方法,在教学中高效落实数学学科核心素养与四基四能.

“基本不等式”是高中新教材人教A版必修第一册第二章的内容,与旧教材相比,放到了较靠前的位置,将其作为备用内容,为后面其他模块的求解作基石,即可以与大多数模块综合命制试题或作为求解工具.可见基本不等式的重要性不言而喻.通过创设情境发现、探索“重要不等式”“不等式链”是不可忽视的一个内容,让学生不仅知其然,还要知其所以然,这样,才有利于发展学生的逻辑推理能力、数据分析能力与数学运算能力.另外,基本不等式也是高考重点考查的知识之一.在高考中一般是直接考查或者与其他知识模块综合考查,主要命题角度为比较大小、求最值、求范围等,在各题型中都可能出现,主要考查灵活转化能力.

因此,笔者以“基本不等式”为例,基于常见、常用的基本不等式基础上,引导学生对于各类题型,学会如何思考、如何变形、如何破题、举一反三,灵活运用所学知识解决问题.

一、知识储备

1.定义

2.使用条件

使用基本不等式需要满足条件“一正、二定、三相等”.

一正:各项必须为正数;二定:积或和必须为定值;三相等:等号成立的条件能否取到.

3.基础不等式

(4)①一般地,当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立．

当a,b∈R时,

4.不等式链

这个不等式链揭示了两正数倒数和、积、和、平方和之间的不等关系,当某一部分为定值时,其余三部分都能取到最值,且都在两数相等时取等号,利用这个不等式链往往可以使复杂问题简单化.

二、题型与策略

以经典、启发性试题引入,通过观察、分析,提高对已知式或所求式的变形能力,利用“和定积最大”“积定和最小”求最值,锻炼构造、建模思维,渗透数学分析、数学建模、数学运算的核心素养.

提高观察、变形能力的途径主要是:教学中注意引导学生,使学生的知识结构形成梯级,一般知识、主要知识、关键知识,使之形成一个有层次的有机融合体.这样,学生在解决问题时,观察有方向、分析有重点、知识用得上、方法有效力.一些有启发性的练习有助与将学生的知识结构整理成梯级.

1.和式的最小值

需注意以下三点:

(1)优先确定两个式子的正负;

(2)乘积是否为定值,若不是定值,则能否变形凑成积为定值;

(3)等号是否能取到要验证.

思路:若要出现积为定值,只需将a变成a+5-5.

注意:本题求出的a值有2个,要根据a的范围删除一个.

注意:(1)变形后,两个式子都是负数,此时不等号的方向是“≤”;

(2)本题求出的a值有2个,要根据a的范围删除一个.

思路:见和想积.若要出现积为定值,只需将2a变成2(a+5)-10.

注意:本题求出的a值有2个,要根据a的范围删除一个.

2.积式的最大值

【例1】(对和式采用基本不等式)

思路:本题“和”已经为定值,可直接利用基本不等式求“积”的最值.

【例2】(对积式采用基本不等式)

已知f(x)=6x(6-3x)(0

思路:观察到3x+6-3x为定值,故对原解析式进行等价变形f(x)=6x(6-3x)=2·3x(6-3x).

【评析】正确的观察是解决问题的第一步,例2注意到“6x=2·3x,3x与6-3x和为定值”是关键信息,由此入手解决问题.观察与分析为伴才能保证正确.通过有启发性的练习锻炼观察能力也就是锻炼了分析能力.

3.根式的最值

“遇根式,先平方”,屡试不爽,求与根式有关的最值问题,也是如此,平方后,再变形、配凑.从示例、现象中找规律,这就是归纳,是学生需掌握的基本能力之一.

4.分式的最值

求解分式型的最值,一般先用消元法或整体法等方式处理,再同除以分子或分母,利用基本不等式求解.

转化技巧1:令ax2+bx+c=m(dx+e)2+n(dx+e)+p,建立关于m,n,p的方程组,求解m,n,p.

思路1:整体法.以“x+1”为整体进行变形,设x2+3x-18=(x+2)2+m(x+2)+n.列出关于m,n的方程组,求解,然后分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

思路2:整体法.分子x2+3x-18=(x+6)(x-3)=(x+2+4)(x+2-5),将“x+2”看成一个整体,展开,分子、分母同除以“x+2”,利用基本不等式求解.

5.“1”的妙用

当已知条件中,代数式的值为1时,常常将所求代数式乘“1”、除以“1”或将所求代数式中的常数“1”用等于“1”的式子代替.

错因:连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.

警示:连续多次(2次及以上)使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是相同的.

思考:将2x+4y=1,换成2x+4y=10,又该如何做呢?

思路:以“所求代数式的分母”为目标,进行变形.将x+y=6变形为x+3+y+6=15,将“x+3”“y+6”看成整体,与所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

思路:以“所求代数式的分母”为目标进行变形,将4x+5y=1变形得4(x+y)+y+2=3,然后将“x+y”“y+2”看成整体,与所求式相乘,最后利用基本不等式求解.

6.不等式恒成立问题

恒成立或有解问题的关键是抓住最值,通常有以下两种解题策略:

(1)不用参变分离.

如果参数不影响最值的求解,则不用分离参数,直接求最值即可.

①对任意的x∈D,f(m,x)≥0恒成立,则满足f(m,x)min≥0即可;

对任意的x∈D,f(m,x)≥0有解,则满足f(m,x)max≥0即可;

②对任意的x∈D,f(m,x)≤0恒成立,则满足f(m,x)max≤0即可;

对任意的x∈D,f(m,x)≤0有解,则满足f(m,x)min≤0即可.

(2)需要参变分离.

将参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为一端含参数的不等式的形式,便于问题的解决.

①对任意的x∈D,f(x)≥g(a)恒成立,则满足f(x)min≥g(a)即可;

对任意的x∈D,f(x)≥g(a)有解,则满足f(x)max≥g(a)即可;

②对任意的x∈D,f(x)≤g(a)恒成立,则满足f(x)max≤g(a)即可;

对任意的x∈D,f(x)≤g(a)有解,则满足f(x)min≤g(a)即可.

思路:不用分离参数,直接求左边式子的最小值,然后将问题转化为求实数a的不等式.

【例2】对于任意m,n∈(0,+∞),都有5m2-amn+4n2≥0,求实数a的最大值.

7.基本不等式的多次使用

在求最值的过程中,有的题型适合采用多次基本不等式求最值,易错点在于一定要验算取等,如果各个不等式的等号不能同时成立,最终的不等式一定不能取等.可以这么理解:只有a≥b,b≥c的等号都取得到的前提下,才有a≥c,否则只能说a>c.

【讲评】利用基本不等式求解最值问题,不论题目有没有问何时取“=”,都一定要注意该不等式能否取“=”,这就是关键知识,即解题学中的“关键点”.若有多处取“=”,还应观察其能否同时取“=”.

三、研究教学策略 落实素养教学

基本不等式几乎贯穿于所有模块中,是求最值的一大利器,每年高考都有对该知识点的考查,掌握其常考题型、解法是关键,难点是式子的变形.遇到问题,先仔细观察式子与已知式子之间的关系,找到变形的切入点.

数学教学的重心应是帮助学生形成数学思维、建模思维,学以致用,这是数学素养的真正核心所在.如本篇所讲“基本不等式”,将常见题型归类,引导学生向目标方向去变形,明晰哪一类试题该用哪种方式去切入.在教学过程中,以学生的学为出发点,以培养学生的数学核心素养为目的,设置课堂教学与实践.

科学、合理的课程设计是高效教学的基础,也是核心.在新课标中,“基本不等式”一节的教学目标是让学生从情境中发现、探索并证明基本不等式,探究其几何背景,掌握用基本不等式解决简单的最大(小)值问题的基本方法.通过这一节的教学,激发学生的探究精神和认真学习的态度,体会数形结合、数学建模等数学思想,落实逻辑推理、数学运算等核心素养.教师需要从情境出发,引导学生通过分析探究、交流学习,发现和证明基本不等式,并给出其几何解释.通过对典型例题的分析,让学生理解基本不等式成立的条件,能用基本不等式解决常见的“最值问题”,抓住本质,突破“基本不等式成立的条件以及构造几何图形验证基本不等式”等教学难点.