立体几何中几类典型作图问题的探究

时间：2024-05-08

曾献峰林清利

(福建省莆田第一中学)

立体几何初步是高中数学的重要学习内容,包括基本立体图形、空间点、线、面的位置关系,是培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的重要载体.在解决某些立体几何问题时,需要在较为复杂的空间图形中分析直线、平面的位置关系,构造出特定的几何元素或几何模型,这些都需要学生具备较高的作图能力,能够综合运用4个基本事实及其推论,结合位置关系的判定定理、性质定理进行探究求解.在教学中教师应重视学生作图技能的训练,实施作图的过程其实也是学生对几何图形特征的理解探究过程,是有逻辑地思考过程,是运用几何语言发展逻辑素养的过程.下面对一些立体几何作图问题从作图操作和作图依据两个方面加以探析.

1.线与面的交点探究

图1

图2

【评注】直线l与平面α的交点G的作图依据:若l∩α=G,l⊂β,α∩β=m,则l∩m=G.

证明：G∈l⊂β,又G∈α,α∩β=m,由基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可知G∈m,所以l∩m=G.

上述表明,过直线l作一个平面β与平面α相交,所得交线m与直线l的交点即为l与α的交点.通过“平面化”的思想,把直线l纳入到平面β内,将线面交点转化为同一个平面β内两条直线的交点.由于平面β取法不唯一,会有多种作图方式,但殊途同归,所得交点是唯一确定的,如图3所示,过直线B1D的平面A1B1CD与平面A1BC1交于直线A1E,则A1E与B1D的交点也为点G.

图3

2.线与线的交点探究

【例2】如图1所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=2OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,求MN的值.

【评注】直线l与两异面直线a,b同时相交的作图依据:

若a与b为异面直线,l∩a=M,l∩b=N,l⊂α,a⊂α,则b∩α=N.

证明：∵a⊂α,a与b为异面直线,∴b⊄α.

又l∩b=N,∴N∈b,N∈l.

∵l⊂α,∴N∈α,∴b∩α=N.

上述表明,线线交点问题可转化为线面交点.对本题而言,直线l与AA1确定平面AA1O1O,它与D1C1的交点N即为直线l与D1C1的交点.由线面交点作图依据可知,A1O1与直线D1C1的交点即为所求的点N,延长NO与直线AA1相交得点M.本题的难点在于M,N的位置未知,需要先虚设点M,N待定出想象中的MN示意图,再进行分析推理.虽然空间中线线转来转去,看似复杂,但如果能够把它们纳入到一些平面上,则能尽快地找到问题的突破口,将空间问题转化为平面问题,这是“平面化”的思想.

3.面面交线与截面探究

【例3】正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是线段CC1,BB1,D1C1的中点,画出图1,图2,图3中阴影部分所在的平面与平面ABCD的交线.

【解析】(1)如图4所示,延长D1E与DC的延长线相交于点M,连接AM,则直线AM即为所求交线(其中CM=CD);

图4

(2)如图5所示,过A作直线PQ∥BD交CD延长线于点Q,交CB延长线于点P,则直线PQ即为所求交线(其中CD=DQ,CB=BP);

图5

(3)如图6所示,过点H作HO垂直DC于点O,延长OB,HF交于点N,则直线AN即为所求交线(其中BN=BO).

图6

【评注】面与面的交线作图依据:若△AD1E所在的平面α与平面ABC有一个公共点A,则有且只有一条过点A的公共直线l,若D1E∥平面ABC,则l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,则直线AP即为所求交线.

证明：由基本事实3可知α∩平面ABC=l,且A∈l.若D1E∥平面ABC,则由平面AD1E∩平面ABC=l,D1E⊂平面AD1E,可得l∥D1E;若D1E∩平面ABC=P,则由基本事实2:如果一条直线上两个点在一个平面内,那么这条直线就在这个面内,可知l=AP.

对本题而言,每个三角形所在平面均与底面交于点A,延长三角形的第三边(不含公共点A的边),若与底面不相交,则交线平行于第三边(如图5中PQ);若相交,则得另一个公共点,从而得到交线(如图4中AM,图6中AN);因此,可将上述方法称为“延长线”法.另外,由于图6中直线HF并不在正方体表面,是一条处于“空中”的线,要研究其与底面交点N的位置会有些难捉摸,继续以“平面化”思想为指导,采用投影法(HO,FB⊥底面ABC)创设出平面HOBF,这样在梯形HOBF中就可以很好地考查HF与OB的交点N了.

研究几何体的截面问题就是研究面面交线问题,若要探究作出图6中平面AHF与正方体的截面,可按如下方法:延长AF,A1B1交于点G;延长GH,A1D1交于点R,GH交B1C1于点T;连接AR交DD1于点S,则所求截面为五边形AFTHS.通过“延长线法”,选择从正方体面上的线AF出发,经延长后与棱所在的直线相交得交点,如此重复,不断产生新的交点,直至得到所有的“截点”:F,T,H,S,A,连接得截面AFTHS(如图7).这是截面的一种比较方便有效的作法.

图7

4.线面平行探究

【例4】如图1所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,P,Q分别为棱AA1,AC的中点,在平面ABC内过点A作AM//平面PQB1交BC于点M,写出作图步骤.

【解析】解法一:如图2,在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N,连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,连接AM,则AM为所求作的直线.

解法二:如图3,在平面ABB1A1内,连接A1B,过点A作AN∥B1P交A1B于点N,连接A1C,在△A1BC中,过点N作NM∥A1C交BC于点M,连接AM,则AM为所求作的直线.

解法三:如图4,延长BA,B1P交于点R,连接RQ并延长交BC于点K,在△ABC中,过点A作AM∥QK交BC于点M,连接AM,则AM为所求作的直线.

解法四:如图5,延长PQ,C1C交于点N,连接B1N与BC交于点R,连接QR,在△ABC中,过A作AM∥QR交BC于点M,连接AM,则AM为所求作的直线.

解法五:如图6,连接BQ,取BQ中点R,B1Q的中点S,连接RS,AR,PS,则四边形APSR是平行四边形,延长AR交BC于点M,则AM为所求作的直线.

解法六:如图7,取CC1,BB1中点E,F,连接EF,EP,PF,取EP中点G,连接FG,取FG中点H,连接PH交EF于点N,过N作NM∥BF交BC于点M,连接AM,则AM为所求作的直线.

【评注】在平面β内过点A作直线l∥平面α的两种重要作图方式:

方式一:构造线线平行.若l∥α,l⊂β,α∩β=m,则l∥m,根据线面平行的性质,只需在平面β内过点A作一条和β与α的交线m平行的直线就是所求作的直线l,再根据线面平行的判定容易证明l∥α.如解法三,解法四的作法.

方式二:构造面面平行.若l⊂γ,γ∥α,则l∥α.依此,作出过点A且平行于平面α的平面γ,则γ与β的交线即为所求的直线l.比如解法一,解法二;解法五是通过构造平行四边形APSR巧证;解法六是先作出与平面ABC平行的平面PEF,再作出它与平面PQB1的交线PN,最后将其平行转移到平面ABC中的直线AM.根据作图步骤容易算得CM=2MB.

5.线线垂直探究

【例5】如图1所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,若点P是AA1的中点,M为正方体表面上的动点,若D1M⊥CP,求M的轨迹长度.

【评注】线线垂直的作图依据:如果平面内一条直线与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它与这条斜线垂直,这是三垂线定理.就本题而言,若存在M1,M2使得D1M1⊥CP,D1M2⊥CP,D1M1∩D1M2=D1,则CP⊥平面D1M1M2,因此问题的本质是过点D1作出直线CP的垂面,依据线面垂直的判定定理只需作两条相交直线与CP垂直即可.CP在平面A1B1C1D1上的射影为A1C1,B1D1⊥A1C1,由三垂线定理有B1D1⊥CP;同样,CP在平面A1B1BA上的射影为BP,B1N⊥BP,由三垂线定理有B1N⊥CP,又QN∥B1D1,从而得到平面D1B1N与正方体的截面为D1B1NQ.三垂线定理是作线线垂直的一个十分有利的工具.

6.面的垂线探究

【例6】如图1所示,正方体ABCD-A1B1C1D1棱CC1的中点E,求直线A1D与平面EDB所成的角的正弦值.

【评注】平面α的垂线l作图依据:若m⊂α,m⊥β,α∩β=n,l⊂β且l⊥n,则l⊥α.

证明：m⊂α,m⊥β,则β⊥α,又α∩β=n,l⊥n,l⊂β,则l⊥α.

即依据面面垂直的性质构造出面的垂线:如图3所示,先作出平面α内某条直线m的垂面β,再在平面β内作α与β交线n的垂线即为所求的直线l.对本题而言,先作出平面EDB内直线BD的垂面A1ACC1,再得到平面A1ACC1∩平面BDE=EO,最后过A1作EO的垂线交于点O,则A1O为平面EDB的垂线,又△A1DB为等边三角形易得A1D与平面EDB所成的角为60°.

7.基于已知模型探究几何体

【例7】如图1,正四面体A-BCD的棱长为1,E,F分别是AB,AC的中点,求过E,F,C,D四点的球O的半径.

【评注】将几何体嵌入到已知模型中进行研究也是一种重要的作图方式,“补形法”正是基于此,用整体与局部的思维思考问题.以正方体为载体研究正四面体,可以很方便地借助正方体的几何性质研究正四面体的线线、线面的位置关系.对本题而言,需要作出的图形有:线段EF,CD的垂直平分面,面面交线AQ,平面EFC(即平面ABC)的垂线O1O等,这些均是前面一些作图方法的综合应用,经“平面化”后最终将问题转化为研究平面图形——矩形APQD,再从对角线AQ上寻找满足OO1⊥AO1的点O的位置.

基于同样的想法,类比正四面体与正方体的关系,我们可用平行六面体来研究四面体.例如:

四面体A-BCD满足AB⊥CD,BD⊥AC,求证:AD⊥BC.

证明:如图5,将四面体嵌入到平行六面体AEBF-GCHD中,∵AB⊥CD,CD∥EF,∴四边形AEBF为菱形.∵BD⊥AC,同理可得四边形AGCE为菱形,∴四边形AFDG为菱形,∴AD⊥GF,又BC∥GF,∴AD⊥BC.

(Ⅰ)求A到平面A1BC的距离;

(Ⅱ)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

【评注】本题源自人教A版教材必修第二册P160例10的三棱锥模型,命题者将其补形为直三棱柱,在求解时又将其进一步补形为正方体.本题题干简洁,设计新颖,除提供体积和面积两个数据外,将其他几何元素信息都隐藏在垂直关系中,需推理论证方能求得.在理清几何元素位置关系后,利用补形法求解几乎没有运算量.另外也可按照二面角的定义法作出其平面角:如图2,在△ABD内作AN⊥BD于点N,连接CN,由△ABD与△CBD全等可得CN⊥BD,则∠ANC即为所求二面角平面角;也可利用AM⊥平面A1BC先求出其补角∠ANM;这些几何作图操作对于熟悉定理、图形性质的学生来说是容易做到的.