立足核心素养 强化变式探究——2023届高三八省联考第21题的多解、推广及变式探究

王东海

(安徽省合肥市肥东县城关中学)

一道高质量的数学试题,不但注重了在知识交汇处命题,而且立足于考查考生的关键能力和数学学科核心素养,2023届T8联考高三第一次联考卷第21题就是这样的一道试题,本文围绕这道圆锥曲线大题进行研究,通过不同角度的探究,给出了该问题的5种不同解题方法,并进一步作了相应的方法总结,然后在课本中找出该题的“题根”,最后对此题还进行了推广拓展、推广应用和变式探究,以期能够提高典型例题的数学效果和效益.

1.试题呈现

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为H,直线过抛物线C的焦点F且与C交于A,B两点,△HAB的面积的最小值为4.

(Ⅰ)求抛物线C的方程;

【分析】这道试题考查了圆锥曲线方程的求解、三角形面积的最值、直线过定点问题.第(Ⅰ)问较常规,利用函数法即可解决.对于第(Ⅱ)问既可以采用设线法去找直线变量之间关系的解法,也可采取齐次化法的技巧,还可以利用抛物线的参数方程加以处理.试题稳中求新,体现了考题的基础性、综合性、创新性,考查考生数学运算、逻辑推理等核心素养.该道考题设问简洁但内容丰富,具有较大的探究空间.

2.解法探究

【视角1】如图,对于(Ⅱ),常规思路是设出直线l的方程,再利用EM⊥EN去寻找直线变量间的关系,从而变量代换后求出抛物线上定点E的坐标.

解法1：(Ⅰ)易得抛物线C的方程为y2=4x.

(Ⅱ)假设存在E(x0,y0),设M(x1,y1),N(x2,y2),

由题意知MN的斜率不为零,

∴y1+y2=4t, ①

y1·y2=4t-17. ②

【视角2】此题也可先设出点E的坐标,利用直曲联立,求出M,N点坐标,再结合三点共线得E点坐标.

解法2：设点E(x0,y0),EM:x=t(y-y0)+x0,代入y2=4x可得y2-4ty+4ty0-4x0=0,

【视角3】此题在处理时,所给条件可转化成直线斜率之积,故可考虑先平移后齐次化来解决.

又M′N′:mx+ny=1,

【视角4】在使用齐次化处理该题时,也可不平移,而是直接配凑成斜率后使用齐次化来解决.

解法4：∵直线MN不过E(x0,y0),∴设MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配凑C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

【视角5】在设出抛物线上动点时,还可以考虑使用抛物线的参数方程来处理,较为简洁.

3.变式探究

3.1 条件变式

【解析】∵直线MN不过E(x0,y0),∴设MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配凑C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

3.2 类比变式

3.3 逆向变式

4.拓展探究

细品解题过程及结论,笔者发现第(Ⅱ)问的解答耐人寻味,值得探究.于是笔者思考,当定点Q变为一般性的定点(s,t),背景的抛物线变为一般性的抛物线y2=2px(p>0),那么抛物线上是否还存在点E使EM⊥EN呢?如果存在,则所需要的充要条件是什么?如果EM⊥EN再变为一般性的这两条直线的斜率积为t呢?逆向思考又会出现什么?另外背景的抛物线变为椭圆、双曲线呢?基于以上思考,笔者探究得到如下结论:

【结论1】已知过点Q(s,t)的动直线l交抛物线Γ:y2=2px(p>0)于M,N两点,则在Γ上存在点E使得EM⊥EN成立的充要条件为t2=2p(s-2p),且此时点E(s-2p,-t).

证明：∵MN不过E(x0,y0),∴设MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.∵Γ:y2=2px,配凑Γ:[(y-y0)+y0]2=2p[(x-x0)+x0]⟹(y-y0)2+2y0(y+y0)=2p(x-x0),即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=2p(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)].

∵MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1,

我们正向探究得到了部分结论,那么逆向探究会得到哪些结论?

结论5,6,7的证明方法类似于结论4,略.

5.追本溯源

这道八省联考高三圆锥曲线大题使用的方法,其实课本早有铺垫,其与人教版选择性必修第一册第138页6题有着很大的相似性:过抛物线y2=4x的顶点作互相垂直的弦OA,OB交抛物线于A,B两点,求证:直线AB过定点(4,0).这里使用结论1很快即可证明.

另外近几年高考中也频繁出现这类试题,比如2020年高考全国Ⅰ卷数理第20题、2022年高考全国甲卷数理第20题、2022年新高考全国Ⅰ卷数学第21题等.因此启发我们在教学中要回归教材,要让教材和教辅资料各尽其责、物尽其用,防止本末倒置,要注意挖掘教材中例题习题背后广泛而深远的意义,提炼更深层次的公式和结论,使学生深化相关知识.

6.结论应用

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)证明:直线CD过定点.

即A(-2s,2t).