2023年新高考数学多选题题型的预测与模拟

史记祥 余继光

(1.江苏省泰州市姜堰第二中学;2.浙江省绍兴市柯桥中学)

本文通过对过去两年新高考数学多项选择题的知识点梳理,总结命题特点与应试特征,得到最后阶段复习的一些启示,并结合新高考数学命题的规律进行预测,最后提供原创的数学模拟试题,抛砖引玉,以提高新高考数学复习的针对性与有效性.

多项选择题从题干到选项围绕一个较大主题展开,从内涵到外延,从表征到本质,从判断到推理,覆盖面较大,综合性较强.多选题的构成要素较复杂,破解的难度较大,需要的能力点较多,运算,推理,应用能力都可能会触及到,多项选择题增加了考生数学思维的复杂性,要求考生更加细心.新高考数学命题引入多项选择题后,在高考数学复习时应该增加相应的专题训练.

1.2021—2022年新高考数学多选题的启示

1.1 知识点分布

表1 2021年新高考数学多选题

表2 2022年新高考数学多选题

1.2 多选题应试特征

从近两年新高考数学多选题知识点角度来看,空间图形、直线与圆锥曲线为必考点,向量、函数导数次之;从能力点角度来看,三角变换与数据分析能力要求高,运算能力次之;从痛点分布来看,多选题能力要求高,数学思维能力弱者痛点多,障碍多.

1.3 数学课堂的教学启示

一是教学落脚点关注数学基本概念与基本方法,考生只要打好数学基本功就能获得较好成绩;

二是围绕干扰项的类型进行复习,如条件疏漏(将容易疏漏的条件所产生的结果设计为干扰项);实际背景忽视(细心模拟学生的演算过失和差错,得到迷惑性较强的干扰项,对提高试题的针对性和鉴别力十分有效);概念混淆(针对学生容易混淆的概念、性质设计为干扰项);题意误解(读题不慎,审题不细,误解题意,由此引发的错误结论设计为干扰项);推理错乱(由不合逻辑地推理而造成的错误结果设计为干扰项);思维定式(熟悉的内容,相似的形式,常会令人产生类比与联想,可能产生负迁移,由此导致的错误设计为干扰项).

2.2023年新高考数学多选题的预测

2.1直线与圆锥曲线内容在新高考数学命题中一般都有一大(解答题)二小(客观题),所以在多选题中必有一题,直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线都有可能,而且考的比较多的是直线与圆锥曲线中的位置关系与数量关系,命题的范围比较大,因此复习尽可能覆盖面宽一点.

2.2空间图形内容在新高考数学命题中一般也是一大(解答题)二小(客观题),所以在多选题中必有一题,空间直线、平面的位置关系与度量关系都是命题的落脚点,命题的切入点传统的是正向命题,可以尝试的是从策略方案角度切入创新,侧重于位置关系,因为解答题一般会涉及空间三大角的计算.

2.3数列是高等数学学习的基础,虽然2021年与2022年多选题中还没有涉及到,但是数列内容在新高考数学命题中一般会有一大(解答题)一小(客观题),关键是一小放在填空还是选择题中,数列重点在等差数列、等比数列、特殊数列,前两项内容在解答题的可能性更大,而特殊数列选准创新点可能会对整份试卷是一大亮点.

2.4函数与导数在新高考数学命题中一般都有一大(解答题)二小(客观题),所以在多选题中可能会有一题,其内容重点在检测函数性质应用,导数可能会成为函数应用时的一个工具,为了将创新意识与发散性思维引入高考数学命题,命题的结构与形式会很灵活.

3.2023年新高考数学多选题的模拟

3.1 直线与圆锥曲线

( )

【答案】ABCD

设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(x,y),由M,N,P在椭圆上,得

选项D是选项B的一种特殊情形,故选项D同样正确,

故选ABCD.

【设计意图】点差法探究发现椭圆的弦斜率与弦中点与原点连线斜率之积的数量关系规律;椭圆内两条弦,所得到的数量规律与它是一致的;椭圆内的弦移动至相切,得到的数量规律仍不变,此问题反映直线与椭圆位置关系与度量关系中非常重要的性质,是圆锥曲线中的一个经典问题,应试中能够检测学生的基本功,很多学生并不知道这一经典,也没有完全掌握点差法,可能没有想到这4个命题都是正确的,命题本身结构简洁整齐,体现数学美.

3.2 空间图形

在正三棱柱A1B1C1—ABC中,D是C1C的中点,O是A1B与AB1的交点,E是OA的中点,寻找证明EC∥平面A1BD的正确途径有

( )

A.选取OA1的中点为F

B.选取B1C与BD的交点为R

C.选取AB的中点为G

D.选取AA1的中点为H

【答案】ABCD

【解析】对于A,如图1,把EC沿CD方向平行投影光束到平面A1BD上,可得DF,此时点F为OA1的中点,易证四边形CDFE为平行四边形,得EC∥平面A1BD,故选项A正确;

图1

对于B,如图2,将B1作为点光源,在平面A1BD内连接OR,其中心投影光束为EC,利用线段成比例证明OR∥EC,得EC∥平面A1BD,故选项B正确;

图2

对于C,如图3,把点E沿A1B方向平行投影到平面ABC上,得到点G,则由EG∥A1B,GC∥OD可证平面EGC∥平面A1BD,得EC∥平面A1BD,故选C正确;

图3

对于D,如图4,把点E沿BA1方向平行投影到平面AA1C1C上,得到点H,H为A1A的中点,则由EH∥A1B,HC∥A1D,可证平面EHC∥平面A1BD,得EC∥平面A1BD,故选项D正确.

图4

故选ABCD.

【设计意图】寻找证明直线与平面平行的途径,看似简单,但需要作辅助图形或辅助线,验证思维途径正确性的经验是:寻找点或线或图形的投影,一次次通过平移线段CE的位置来进行探索,最后通过逻辑推理完成问题,命题本身语言简洁,命题角度新颖,从逻辑思维的角度来检测学生的数学思维,思维量大,没有运算量,从解题策略与方案优化上命题将是新高考数学命题的一个方向,此命题思路也可以用在证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的策略与途径上,提升思维难度.

3.3 特殊数列

( )

【答案】ABCD

得到下标规律如表所示:

下标(n为奇数项)1357…2n-1an3×0+33×1+33×2+33×3+3…3×(n-1)+3规律3×(1-1)+33×(2-1)+33×(3-1)+33×(4-1)+3…3×(n-1)+3

故选ABCD.

证明:当n=1时,命题显然成立.

命题也成立,根据数学归纳原理,对任意正整数n,命题都成立.

【设计意图】递推思想与递推能力不仅是数列的重要思想方法,也是科学研究的基本功,取整函数与小数函数虽然在中学数学中使用率较小,但在高等数学中起着十分重要的作用,特殊数列的规律不是十分明显,必须通过递推去发现、去归纳、去猜测,由特殊到一般寻找下标规律比较困难,所以此题的难度较大.

3.4 函数导数

( )

A.学生甲构造函数f(x)=asinx举一例为f(x)=sinx

【答案】ABCD

f(x)=ax2sinx+bx,f′(x)=(2axsinx+ax2cosx)+b,为偶函数,f′(0)=b=1,

f(x)=ax3+bsinx+cx,f′(x)=3ax2+bcosx+c,f′(0)=b+c=1,

故选ABCD.