条件概率和全概率公式——高考数学命题新的增长点

张 涛

(山东省泰安长城中学)

条件概率和全概率公式是概率中的重要内容之一,也是新高考考查的重点,尤其在2022年新高考Ⅰ卷解答题中条件概率的“闪亮登场”,不但给人清新之感,而且条件概率和全概率公式的应用成为高考的热点,可以预测条件概率和全概率公式的应用问题将成为2023年乃至以后新高考卷命题新的增长点.为此,本文以高考或各地模拟考试中的有关试题为例,来探究条件概率和全概率公式以及与其他知识的交汇问题,旨在探索题型规律,供教师与学生参考.

一、条件概率和全概率公式

1.条件概率

2.全概率公式

全概率公式的解题步骤是:

①设出所有的条件事件分别为Ai;

②设出所求概率的事件为B;

③代入全概率公式求解.

二、条件概率和全概率公式与其他知识的交汇应用

1.与频率分布直方图的交汇

【例1】(2023·云南大理、丽江、怒江第一次复习统一检测)足球运动,最早的起源在中国.在春秋战国时期,就出现了“蹴鞠”或名“塌鞠”.某足球俱乐部随机抽查了该地区100位足球爱好者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.

(Ⅰ)估计该地区足球爱好者的年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(Ⅱ)估计该地区足球爱好者年龄位于区间[20,60)的概率;

(Ⅲ)已知该地区足球爱好者占比为21%,该地区年龄位于区间[10,20)的人口数占该地区总人口数的35%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[10,20),求此人是足球爱好者的概率.

解析：(Ⅰ)21.4岁.

(Ⅱ)0.48.

【点评】本题以频率分布直方图为载体,第(Ⅲ)问考查条件概率公式的直接应用,体现了条件概率与频率分布直方图的交汇.

2.与独立性检验的交汇

【例2】(2022·湖南炎德英才名校联合体联考)2022年卡塔尔世界杯将于当地时间11月20日开赛,某国家队为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:

(Ⅰ)根据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联?

(Ⅱ)根据以往的数据统计,甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.3;在甲出任前锋、中场、后卫的条件下,球队输球的概率依次为0.2,0.2,0.7,则:

(ⅰ)当甲参加比赛时,求该球队某场比赛输球的概率;

(ⅱ)当甲参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求甲球员担当中场的概率;

(ⅲ)如果你是教练员,应用统计概率有关知识,该如何使用甲球员?

附表及公式:

α0.150.100.050.0250.010.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：(Ⅰ)能.

(Ⅱ)(ⅰ)设A1表示“甲球员担当前锋”;A2表示“甲球员担当中场”;A3表示“甲球员担当后卫”;B表示“球队输掉比赛”,有P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3,P(B|A1)=P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.7,则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.2+0.5×0.2+0.3×0.7=0.35,

所以该球队某场比赛输球的概率为0.35.

故应该多让甲球员担任前锋.

3.与线性相关的交汇

(Ⅰ)试判断y=a+bx与y=a+blnx哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型?并建立y关于x的回归方程;

(Ⅱ)新药经过临床试验后,企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品,其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012,第2条生产线出现不合格药品的概率为0.009,两条生产线是否出现不合格药品相互独立.

(ⅰ)随机抽取一件该企业生产的药品,求该药品不合格的概率;

(ⅱ)若在抽查中发现不合格药品,求该药品来自第1条生产线的概率.

解析：(Ⅰ)刚开始用药时,指标A的数量y变化明显,随着天数增加,y的变化趋缓,故y=a+blnx适宜作为y关于x的回归方程类型.

【点评】本题第(Ⅱ)(ⅰ)问设出事件,利用全概率公式进行求解,第(Ⅱ)(ⅱ)问在第(ⅰ)问的基础上,利用条件概率进行求解,充分体现了条件概率和全概率公式与线性相关关系的交汇.

4.与数列的交汇

【例4】“绿色出行,低碳生活”已得到越来越多市民的积极响应.原来每天开车上班的小李,即日起每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选取一种方式出行.选取出行方式规则如下:第一天骑自行车上班,随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式,如果得到的正面朝上的枚数小于3,那么当天出行的方式与前一天相同,否则就选取另外一种出行方式.

(Ⅰ)求小李前三天骑自行车上班天数X的分布列;

(Ⅱ)由条件概率我们可以得到概率论中一个重要公式——全概率公式.其特殊情况如下:如果事件A1,A2相互独立且P(Ai)(i=1,2),则对任一事件有P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)·P(A2)=P(A1B)+P(A2B).设pn(n∈N*)表示事件“第n天小李上班选取骑自行车出行方式”的概率.

(ⅰ)用pn-1表示pn(n≥2);

(ⅱ)从长期来看,请问小李选取哪种出行方式的次数更多?

解析：(Ⅰ)X的分布列为

X123P5525680256121256

【点评】本题第(Ⅱ)问,用数列通项形式设出概率,根据题中给出的全概率公式建立概率的递推关系式,然后转化为等比数列求出通项公式得解,体现了条件概率及全概率公式与数列知识之间的交汇渗透应用.

5.与等式的交汇

【例5】(2022·全国新高考Ⅰ卷·20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:

不够良好良好病例组4060对照组1090

(Ⅰ)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

解析：(Ⅰ)略.

【点评】(ⅰ)中R的两种证法均是在理解、掌握条件概率公式的基础上,进行变换代入得证的,两种证法可谓殊途同归.需要注意的是,由于该问中涉及到的符号、式子既“庞大”又相似,稍有不慎,容易弄错;(ⅱ)依据列联表中的数据,用频率估计概率,代入(ⅰ)中的公式求得R的值.

6.与不等式的交汇

【例6】(2023·浙江杭州八县上学期11月期中)某大学有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐,近100天选择餐厅就餐情况统计如下:

选择餐厅情况(午餐、晚餐)(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天

假设甲、乙选择餐厅相互独立,用频率估计概率.

(Ⅰ)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率,乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率;

(Ⅱ)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数,求X的分布列和数学期望E(X);

解析：(Ⅰ)0.3,0.4.

(Ⅱ)X的分布列为

X12P0.10.9

则X的数学期望为E(X)=1.9.

【点评】第(Ⅲ)问充分运用条件概率公式以及条件概率与相互独立事件概率的关系,利用综合法证明条件概率不等式,体现了条件概率与不等式的交汇.

三、结束语

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在随机事件的条件概率一节中提出的要求是:①结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率;②结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系;③结合古典概型,会用乘法公式计算概率;④结合古典概型,会用全概率公式计算概率;⑤了解贝叶斯公式.这些要求在2022年新高考Ⅰ卷数学命题中得以“落地生花”,将条件概率问题融入解答题进行考查,这在历年数学高考尚属首次,反映出高考越来越注重数学在实际问题中的应用,要求考生具备较强的运用数学知识解决问题的能力和素养,在以后新高考卷命题中进一步加强对条件概率和全概率公式的考查是可以预见的.那么,在高考复习备考中如何复习条件概率及全概率公式呢?

(1)通过具体实例帮助学生回归概念、理解概念本质,比如随机事件的独立性与条件概率之间具有怎样的关系,全概率公式的意义是什么,蕴含着怎样的数学思想,应用全概率公式能解决哪些问题等.引导学生积极探索和思考,培养和通过学生的数学抽象素养.