注重四基四能 提升核心素养——新高考解三角形备考策略

袁小强 蒋爱国

(江苏省兴化市楚水实验学校)

通过对近四年新高考、全国卷的研究,不难发现解三角形大题的考查方向灵活多变,与其他数学重点知识(函数、方程、向量等)综合考查,试题考查从单一走向复杂,重点考查学生的题意理解能力和化归与转化的思想,因此需培养学生分析问题与解决问题的能力,同时试题考查要求学生在面对综合性较强的问题和新颖、较为复杂情境时,具有一定的探究能力与创新精神.

年份题号背景题型条件个数问题个数考点2019全国Ⅰ卷理科17单三角形求角1+12正弦定理、余弦定理、三角函数的性质2019北京卷理科15单三角形求边,求角32正弦定理、余弦定理、两角和差公式2020山东卷17单三角形结构不良题(三选一)2+11(探究性)正弦定理与余弦定理2021八省联考18四边形求边,求角1+12余弦定理2021新高考Ⅰ卷19多三角形证明,求角2+12正弦定理与余弦定理2022新高考Ⅰ卷18单三角形求角,求最值12倍角公式、两角和差公式、余弦定理、基本不等式

1.全国卷解三角形题型统计

2.题型分析

题型一:静态单三角形

1.已知三个条件解三角形

(Ⅰ)求b,c的值;

(Ⅱ)求sin(B-C)的值.

∴b=7,∴c=b-2=5.

【评注】本题在一个三角形中考查正弦定理、余弦定理,已知三个条件,往往三角形已经确定了,从而研究边和角,考查角时可以利用三角形内角和为π,考查研究两角和与差的正、余弦公式.

2.结构不良题添加条件构成三个条件解三角形

∴b=1,c=1.

【评注】本题考查解三角形中的正弦定理与余弦定理,20年山东卷第一次出现结构不良试题,已知两个条件,再从三个条件中选一个,构成三个条件,若选条件①②三角形确定并且存在,若选条件③三角形确定但不存在,题中给出①②③三个条件对于解题难易差不多,相当于三个变量三个方程,构造方程组解题.

题型二:动态单三角形

1.已知两个条件求角

【例3】(2019·全国Ⅰ卷理·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(Ⅰ)求A;

【解析】(Ⅰ)∵(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,

∴sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC.

【评注】本题考查正弦定理、余弦定理,该题给了一个条件相当于已知了角A,第(Ⅱ)问加了一个条件:三边的关系,三个变量,只有两个方程,本质上一个三角形只给出两个条件不能解三角形,但是本题三角形的形状固定,从而可以求另外两个定角,动态三角形中有“定角”,体现了数学中的“动”中有“静”.

2.已知一个条件求范围

即cosAcosB-sinAsinB=sinB,∴cos(A+B)=sinB,即-cosC=sinB.

时等号成立

),

题型三:静态四边形

【例5】(2021·八省联考·18)在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=BD=1.

(Ⅱ)若AB=2BC,求cos∠BDC.

∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD.

(Ⅱ)设BC=x,则AB=2x,

在△ABD中,由余弦定理得1=(2x)2+1-2·2xcos∠ABD, ①

在△BCD中,由余弦定理得x2=1+1-2cos∠BDC, ②

∵CD∥AB,∴∠BDC=∠ABD,

【评注】本题考查余弦定理,已知四边形ABCD由△BCD和△ABD两个三角形构成,且两个三角形有公共边BD,且易知∠BDC=∠ABD,第(Ⅰ)问在△BCD中,求边BC,已知△BCD中的两边差一个条件,∠ABD转化为求∠BDC,三角形确定了;第(Ⅱ)问已知△BCD和△ABD中一组角相等,一组边有关系,两个变量构造成方程组,消元即可求解,四边形转化为两个三角形,找出两个三角形角和边之间的关系,通过构造方程组求解.

题型四:静态多三角形

【例6】(2015·全国Ⅱ卷理·17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.

【解析】(Ⅰ)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.

又AB=2AC,cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AC=1.

【评注】本题考查三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,把大三角形分为两个小三角形,两个三角形有公共边AD,两个角∠ADB和∠ADC互补.又易知AB=2AC,从而用余弦定理构造方程组,可以求出边和角,三个未知数三个方程,消元即可求解.本题解题关键是找出两个三角形角和边之间的关系,通过构造方程组求解.

题型五:动态四边形

【例7】已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-c)cosB=bcosC.

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)如图,AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4,求四边形ABCD面积的最大值.

∵(2a-c)cosB=bcosC,

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.

在△ACD中,由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+4-2×4×2cosD=20-16cosD,

【评注】本题考查正弦定理、余弦定理和三角函数的性质,四边形ABCD因角D的变化而变化,因此四边形ABCD面积可以分解为两个三角形,△ABC和△ACD的面积都可以用一个变量角D来表示,从而化归为三角函数的最值问题.

题型六:动态多三角形

(Ⅰ)求角B的大小;

∴2sinAsinBcosB-sinCsinAcosA=sin2AcosC.

∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC,

∴2sinBcosB=sin(A+C),∴2sinBcosB=sin(π-B),

∴2sinBcosB=sinB.

∴a·1·c·cos∠ABD=c·1·a·cos∠CBD,

∴cos∠ABD=cos∠CBD.

【评注】本题考查正弦定理、余弦定理和函数的性质,已知在△ABC中角B及其平分线长,从而将△ABC分解为两个三角形,因为a和c之间有关系,而边b又可以用a,c表示,所以△ABC周长转化为用a,c表示,可以把ac或a+c看成整体,多元变量最值问题化归为单元变量最值问题,最后应用函数的单调性即可求解.

3.教学反思

3.1注重四基四能

新高考解三角形大题仍然是深化基础性考查,要求学生深刻理解数学的基本概念和基本思想方法,解三角形中重视正弦、余弦定理及三角形相关性质,重视三角形中边、角的内在联系.要求学生深刻理解边、角相互转化的本质,基于探究的三角形中边角教学活动,深化概念,内化方法.要求中学教学在培养学生的知识、见识上下功夫,在数学知识方法应用的灵活性和创造性上下功夫,在培养关键能力上下功夫.

3.2把握命题方向

解三角形要善于发现三角形图形和三角形基本量边角之间的关系,体会图形与图形、图形和数量的关系,探索图形之间的规律,借助图形探索解决问题的途径,新高考中解三角形已从单三角形向多三角形、从静态向动态、从单元向多元、从简单向复杂等方向进行考查.在教学中,应该鼓励学生多角度思考、主动深化探究,从思维角度研究边角转化关系,从运算角度探究数学运算关系,帮助学生理解其中蕴涵的“数形结合” “化归与转化”等重要数学思想.

3.3提高核心素养