关键能力衔接教材落地开花 核心素养深度引领二轮复习——以2022年新高考Ⅰ卷第22题为例

韩红军

(陕西省麟游县中学)

2022年新高考Ⅰ卷的数学试题倡导理论联系实际、学以致用,关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则,设计真实问题情境,体现数学的应用价值.尤其是第22题,对能力的要求比往年高,“题海战术”的功效明显下降,坚持熟而不俗、俗而不易、稳中求变、变中出新的命题初心,科学把握必备知识与关键能力的关系,全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.

1.原题再现

已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

本题结构新颖,思维巧妙.本题由指数函数与一次函数、对数函数与一次函数构成的两个新函数为载体,第(Ⅰ)问考查函数的最值问题,设置比较基础;第(Ⅱ)问考查函数与方程,属于探索创新情境,具有一定的选拔性,主要考查学生的推理论证能力、运算求解能力,以及数形结合、分类与整合等数学思想方法,考查学生思维的灵活性、严谨性及创新性.命题人将指、对函数与参数结合,考查函数的单调性、零点存在定理、反函数等知识.从命题的角度看,主要考查如下关键能力;从学生答卷情况看,主要涉及如下失误.

序号关键信息抽象概括能力1函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,求a解决函数的最值问题可考虑研究函数的单调性,本题中的两个函数,定义域都是开区间,从两函数的导函数可以看出,当a≤0时,显然两个函数都是单调函数,那么在定义域内是没有最值的,再讨论当a>0时,两个函数的单调性,进而求得两个函数的最小值,根据最小值相同,得到方程a-alna=1+lna,解这个超越方程有一个难点,虽然能够得到一个特殊解a=1,但是否还有其他解未可知,这就需要转化成一个关于a的函数,去研究这个函数的单调性、极值等性质

续表

1.1关键能力

1.1.1抽象概括能力

1.1.2推理论证能力

函数的零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者间的转化应用.

1.1.3运算求解能力

应用零点存在定理时判断符号的取值、指数式与对数式的转化、指对同构都对运算求解能力提出了较高的要求.

1.2学生失误分析

第(Ⅰ)问,解超越方程a-alna=1+lna思路不清;第(Ⅱ)问,一是找不到解决三个交点问题的突破口;二是直线y=b与两条曲线交点个数的证明不严谨;三是不能对三个交点满足的关系灵活地进行指对变形或同构.

2.解法探究

第(Ⅰ)问的解法探究.

若a≤0,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上单调递增,所以f(x)没有最小值;

若a>0,令f′(x)=0得x=lna,当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,lna)上单调递减;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(lna)=a-alna.

若a≤0,g(x)没有最小值;

上述解法比较复杂,构造函数的好与坏直接影响着求解过程的简与繁,观察函数的结构特征,我们发现a-alna=1+lna含有超越函数,并且lna前面还有a,于是想到分离lna,因此我们得到解法二.

第(Ⅱ)问的解法探究.本小题对于学生有一定的难度.思路1:构造函数,G(x)=f(x)-g(x),通过函数的单调性寻找函数G(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,利用零点存在定理,确定唯一零点x0∈(e-2,1),从而得到证明;思路2:以g(x)为主函数,采用指数式与对数式的结构特征进行同构,将对数向指数转化;思路3:以f(x)为主函数,采用指数式与对数式的结构特征进行同构,将指数向对数转化;思路4:比较巧妙通过观察发现y=ex与y=lnx互为反函数,y=x+b与y=x-b互为反函数,利用对称性得到x0-x1=y2-y0.思维导图如下.

所以直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右共有三个不同的交点(lnx0,b),(x0,b),(ex0,b).因为ex0+lnx0=2x0,所以这三个交点的横坐标成等差数列.

解法四:证明:(反函数法)由题意可得,ex-x=b和x-lnx=b共有三个不同的根,等价于ex=x+b和lnx=x-b共有三个不同的根.因为y=ex和y=lnx互为反函数,图象关于y=x对称,y=x+b和y=x-b也互为反函数,图象关于y=x对称.根据对称性,得∃b∈R,使得y=ex与y=x+b交于A,B两点,y=lnx与y=x-b交于C,D两点,且B,C横坐标相同时有3根.设A(x1,y1),B(x0,y0),C(x0,y0),D(x2,y2),由反函数的对称性,易知x0-x1=y2-y0,又直线CD斜率为1,故y2-y0=x2-x0,所以x2-x0=x0-x1,x2+x1=2x0,即三个交点的横坐标成等差数列.

3.高考二轮复习备考策略

通过这道题的探究过程,启示我们高考二轮复习备考要从以下方面着手.

3.1把握命题方向,提高复习效率

新高考备考要立足《中国高考评价体系》,立足《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》,立足教材,依托“一核四层四翼”评价体系,明确“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求,遵循学生认知规律,把握新高考命题方向,注重“能力立意”和“素养导向”,注重学生建构知识网络,完善认知结构体系,夯实数学必备知识,提升学生关键能力,优化数学学科素养.

3.2优化教学设计,促进深度学习

高考备考要聚焦主干知识为主线,精心设计复习教学过程,创设问题和实际情境,以问题意识唤醒学生的隐性知识积累,建构知识体系,注重通性通法,夯实必备知识,帮助学生深度理解核心概念、数学规则和思想方法,帮助学生学会深度思维和深度学习.

3.3实施单元教学,完善知识体系

高考备考要围绕主干知识为主线,实施单元教学,对数学知识、思想、方法进行重新组合,可以是横向的,也可以是纵向的,以大单元为依据选择二轮复习主题,以高考真题或经典模拟题为例题,以问题链、变式串的形式引领学生思考和交流,引导学生深度思考.

3.4强化解题教学,适应题型变化