寻找命题背景 解构立体几何

武 静

(广东省东莞市第六高级中学)

空间图形是现实世界物体的抽象,学生观察世界,首先接触的是具体的几何体.而在解决立体几何问题的时候,对学生而言,总感到点线面之间的位置关系错综复杂,难以理清各种元素之间的关系.实际上,类似于平面几何图形可以看作等腰三角形、直角三角形、圆、菱形、直角梯形、等腰梯形等的组合,立体几何图形也有一些简单的“基本图形”,如长方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆台、棱台等.在实际教学过程中,先把这些“基本图形”的元素位置关系弄清楚,再从立体几何图形中提炼出这些“基本图形”,那么立体几何的难点突破将事半功倍.

从整体到局部,一般到特殊是构建立体几何的研究路径.因此,利用数学建模的思想,构建符合学生认知规律的研究路径:从现实问题——抽象出几何体的整体模型——分析构成空间图形的基本元素——分析元素的位置特征——寻找命题背景——结构分析求解,长度、面积、体积、角度等度量——检验模型,让学生经历研究立体图形的过程,从中体会研究立体几何的基本思路和方法,发展数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养.

1.引例

【例1】(2022·全国新高考Ⅱ卷·11)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则

( )

A.V3=2V2B.V3=V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

1.1建模分析

如图所示的几何体为组合体,可以直接由体积公式计算V1,V2,而三棱锥F-ACE的体积需要通过数学建模解析组合体,从而突破难点.对于组合体的体积计算,我们常用的解法有两种:割与补,接下来给出这两种方法的数学建模分析过程.

【数学建模一】分析构成组合体的基本元素以及元素之间的位置关系,寻找命题背景几何图形,找到组合体的“源”与“流”.联系条件,我们不难发现组合体底面ABCD为正方形,且ED⊥平面ABCD,FB⊥平面ABCD,因此可联想到正方体模型,从而完成立体几何图形的迁移.如图,连接MD,交平面ACE于点N,连接BD交AC于点G,连接FG,则FG即为三棱锥F-ACE的高,计算出V3,依次判断选项即可.

【数学建模二】如图,连接BD交AC于点M,连接EM,FM.由M为AC中点,我们可以联想将三棱锥F-ACE拆分成两个全等的小三棱锥,由V3=VA-EFM+VC-EFM计算出V3,依次判断选项即可.

1.2解答过程

解法一:连接MD,交平面ACE于点N,

连接BD交AC于点G,连接FG.

设AB=ED=2FB=2a,

∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,

∴FB⊥平面ABCD,

在正方体中,易知体对角线MD⊥平面ACE.

易得FG为△BMD的中位线,

∴FG⊥平面ACE,即FG为三棱锥F-ACE的高,

则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,

故选CD.

解法二:连接BD交AC于点M,

连接EM,FM,易得BD⊥AC.

设AB=ED=2FB=2a.

又ED⊥平面ABCD,

AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC.

又ED∩BD=D,

ED,BD⊂平面BDEF,

∴AC⊥平面BDEF.

过点F作FG⊥ED于点G,

易得四边形BDGF为矩形,

∵EM2+FM2=EF2,∴EM⊥FM,

则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,

故选CD.

2.活用数学建模,寻找命题背景

在研究立体几何时,无论对于空间点、线、面位置关系的认识,还是平行、垂直等相关定理,都可以在“基本图形”中找到对应的表示.因此,在教学中,一定要充分重视几何体的命题背景.灵活应用数学建模,从现实问题中抽象点线要素,把握位置关系,变换不同角度,化动态为静态,让学生经历识图——画图——算图——证图的过程,体会研究立体几何的基本思路和方法,提高发现问题、提出问题和解决问题的能力.

2.1抽象点线要素,识别组合体模型

【例2】十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具.如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为________.

【建模分析】分析该几何体的结构特征可知,十字贯穿体是完全对称的组合体.点动成线,线动成面,面动成体,因而找出公共部分所构成的几何体的关键是先找到该几何体中的第一要素——所有的点.在图1和图2中,我们可以先找到如图所示的五个点:A,B,D,P,S,再根据对称性可以找到几何体最后一个点C,该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成.利用等体积法或者直接法求出其内切球的半径,即可代入球的体积公式,即可求出结果.

解答过程:该几何体的直观图如图所示,这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD和P-ABCD组成.

由题意,这两个正四棱柱的中心既是其外接球的球心,也是其内切球的球心,设内切球的半径为R,连接AC,设AC的中点为H,连接BH,SH,可知SH即为四棱锥S-ABCD的高,

在Rt△ABH中,

又SH=BH=2,

2.2把握位置关系,建立四棱锥模型

【例3】如图为四棱锥A-DEFG的侧面展开图(点G1,G2重合为点G),其中AD=AF,G1D=G2F,E是线段DF的中点,请写出四棱锥A-DEFG中一对一定相互垂直的异面直线:________.(填上你认为正确的一个结论即可,不必考虑所有可能的情形)

【建模分析】要找出四棱锥A-DEFG中一对一定相互垂直的异面直线,必须从折叠前的直线与直线的位置关系入手,直观想象折叠变化过程中长度与角度等度量的不变量,特别是垂直关系或者长度关系.由AD=AF,E是线段DF的中点结合全等三角形的判定定理与性质定理可证DF⊥平面AOE,故异面直线DF⊥AE,同理可证AE⊥DG,AE⊥GF.由AD=AF,G1D=G2F可证DF⊥平面AEG,故异面直线DF⊥AG.

解答过程:将四棱锥A-DEFG的侧面展开图还原为四棱锥A-DEFG,如图所示,连接DF,GE交于点O,连接AO.

因为DG=FG,DE=EF,GE=GE,

所以△GDE≌△GFE,所以∠DGO=∠FGO.

又DG=GF,GO=GO,

所以△DGO≌△FGO,

所以DF⊥GE.

因为AD=AF,OD=OF,所以AO⊥DF.

又因为AO∩OE=O,AO,OE⊂平面AOE,

所以DF⊥平面AOE.

又AE⊂平面AOE,

所以DF⊥AE.

(同理可证AE⊥DG,AE⊥GF,DF⊥AG)

2.3变换不同角度,重构三棱锥模型

( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

【建模分析】要求解二面角,必须先作出二面角的平面角.由条件知直线AB⊥AC,AB⊥BD,故过点A作AF⊥AB,过点B作BE⊥AB,∠FAC或∠DBE即为所求二面角的平面角,且平面FAC∥平面DBE,故从二面角的角度分析,可以重构二面角为三棱柱模型.

解答过程:如图,过点A作AF⊥AB且AF=BD,过点B作BE⊥AB且BE=AC,连接FD,CE,FC,DE.

又AB⊥AC,AF∩AC=A,

所以AB⊥平面ACF,

则∠FAC即为所求二面角的平面角.

又AB∥FD,所以FD⊥平面ACF.

又FC⊂平面ACF,所以FD⊥FC.

故该二面角的大小为60°,故选C.

2.4转动态为静态,搭建三棱锥模型

【例5】如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知点E,F分别为直线BD,AD1上的动点,则|EF|的最小值为________.

【建模分析】点E,F两个点都在运动,无法直接度量长度,因而需要寻找点的运动源头,化动态为静态.点E,F分别在直线BD,AD1上运动,所以EF的最小值即为异面直线BD,AD1公垂线段的长度.公垂线与两条直线都垂直,就可以平移其中一条直线,使之与另外一条直线构成平面,将公垂线的长度转化为线到面的距离,继而转化为点到面的距离,从而搭建三棱锥模型,利用等体积法或直接法等求出公垂线段的长度.

解答过程:如图,连接BC1,DC1,BD1.

∵点E,F分别在直线BD,AD1上运动,

∴|EF|的最小值即为异面直线BD,AD1公垂线段的长度.

∵BC1∥AD1,BC1⊂平面BC1D,AD1⊄平面BC1D,

∴AD1∥平面BC1D,

异面直线BD,AD1公垂线段的长度,

即AD1到平面BC1D的距离,

即点D1到平面BC1D的距离.

设点D1到平面BC1D的距离为d,

∵VD1-BC1D=VB-D1C1D,

3.立体几何的教学策略

在立体几何的执教过程中发现,学生的空间想象能力参差不齐,更多依赖于向量法解决立体几何问题,一味回避几何法.为了改善这种情况,渗透几何研究的基本路径和方法,对学生空间想象、数学抽象、数学建模、推理论证能力的培养可以借助实物操作、加强识图绘图、融合信息技术、重视几何分析等方面进行突破.

3.1借助实物操作,提升数学建模素养

利用数学建模,寻找命题背景研究立体几何的一般路径:从现实问题——抽象出几何体的整体模型——分析构成空间图形的基本元素——分析元素的位置特征——寻找命题背景——分析结构,求解长度、面积、体积、角度等度量——检验模型.在研究过程中,我们可以借助实物来帮助学生建立符合题目背景的数学模型.如,讲解点线面的位置关系,我们在执教过程中可如表1来演示:以笔为线,以讲台、书本、桌面为面,移动笔可以将抽象的线面位置关系进行直观展示;讲解折叠问题,我们可以拿起草稿纸,按照题目要求一步步折叠,在折叠的过程中可以观察变化过程中保持不变的角度、长度等度量,为动态问题设置阶梯,降低难度;涉及到正方体、长方体模型,我们可以借助橡皮擦、粉笔盒等进行演示.在实物演示的过程中注意数学相关概念的准确性,也就是在建模过程中提前做出假设,如演示点线面的位置关系时,假设书面是可以无限延伸的.借助实物操作确认,就是为学生设置思维的阶梯,从日常的点滴入手,提高数学建模素养.

表1

3.2加强识图绘图,提升数学抽象素养

在立体几何执教过程中还发现,对于一些没有给出几何图形的题目,部分学生无法正确绘图,无法将文字语言转化为图形语言.因此,我们在上立体几何起始课的时候,应设置制图、识图、绘图活动,帮助学生从整体上感知立体几何的结构特征,如手工制作棱锥、棱柱模型,立体几何折纸活动等等;在学习点线面的位置关系时,给学生留出足够的时间书写点线面位置关系的文字、符号、图形语言;在学习垂直、平行关系的时候,要求学生用尺规规范作图,斜二测画法中平行关系保持不变,规范作图可以让我们的逻辑推理锦上添花.此外,还应重视“基本图形”的识图绘图过程.

3.3融合信息技术,提升直观想象素养

静态的立体几何图形我们可以借助实物操作确认、加强识图作图的方法来一步步培养学生的空间感.当学生遇到动态问题,可能无法通过直观想象几何体的结构,那么就需要我们借助网络画板、几何画板等软件帮助学生构建动态几何体,将运动轨迹一一呈现出来,从而推演其形成过程,达到识图——画图——算图的目的.如图1,在上圆锥曲线起始课和圆锥曲线统一定义的时候,可以借助几何画板改变切割角度,形成椭圆、双曲线和抛物线,使学生亲身经历圆锥曲线的形成过程,通过信息技术的加持一步步引导学生发现圆锥曲线的内在联系;如图2,在研究正方体中的截面问题时,可以利用网络画板等,动态展示运动过程中不同的截面形状,分析截面形状的所有情况,完成文字语言——图形语言——符号语言的转化,提升直观想象素养.

图1

3.4重视几何分析,提升逻辑推理素养

通过实物操作和感知,归纳出空间几何体的结构特征,通过识图绘图,发现几何体中点线面的位置关系,接下来算图——证图则需要严密的逻辑推理.立体几何的教学一般遵循“直观感知——操作确认——推理论证”的研究过程,因此在对几何问题展开研究时,应该从一般到特殊,将空间问题降维为平面问题,重视几何分析过程,使学生在掌握知识、方法的同时,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.如对于直线与平面垂直的研究,呈现的几何分析过程如下:

(1)观察现象,设置问题.

如图,阳光下直立于地面的旗杆,观察它在地面的影子位置的变换,旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直?

将旗杆和影子抽象为直线,将所有影子抽象为平面,旗杆直立于地面的文字语言翻译为数学语言:直线与平面垂直,由这一现象发现,旗杆垂直于影子,翻译为数学语言为直线垂直于平面内的任意一条直线.至此,得到直线与平面垂直的定义.

(2)知识迁移,提前铺垫.

在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?

画图可以发现只有一条,但是直接证明似有难度,我们不妨从反面入手.假设过一点垂直于已知平面的直线有两条,连接两个垂足,记为l,则这两条直线都与已知平面内任意一条直线垂直,故这两条直线都垂直于l,这与在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾,故假设不成立,所以空间中,过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条,垂线段的长度叫做点到平面的距离.

(3)实验操作,形成定理.

如图,准备一块三角形纸片,过三角形的一个顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上,如何翻折才能使折痕与桌面垂直?这样的折痕有几条?