一道椭圆竞赛题的探究与拓展

甘肃

一、问题提出

历年高考真题和全国各地的竞赛试题都是命题专家集体智慧的结晶.笔者发现,一些竞赛题与高考真题之间有着千丝万缕的联系,例如,本文中将要探究的这类椭圆有关的问题在近年高考与竞赛中多次出现.本文以2020年全国高中数学联赛福建赛区预赛第12题为例,对圆锥曲线一类顶点弦问题进行探究与拓展,希望能起到抛砖引玉的作用.

(1)求椭圆C的方程；

二、试题解法

点评:此方法先设出点T的坐标,然后把直线A1T和A2T的方程分别与椭圆的方程联立,表示出A,B两点的坐标,再由A,B,F三点共线求得t=8.此法是处理圆锥曲线顶点弦问题的常规方法.

点评:此法通过巧妙地计算t+4-3(t-4),从而达到化简后能够利用韦达定理的目的.

三、试题拓展

经过探究发现,由题目可以引出椭圆和双曲线中的一个优美结论:

点评:当直线l过椭圆(或双曲线)的左(或右)焦点时,点T在椭圆(或双曲线)的左(或右)准线上.

还可以得到命题1和命题2的推论:

如果把抛物线的另一个顶点看做“无穷远点”,那么过抛物线上的点B和另一个顶点的直线即为过点B平行于抛物线对称轴的直线,因此有下面的命题3:

命题3:已知O为抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点,过点(t,0)(t>0)的直线l交C于A,B两点,直线OA与过点B与x轴平行的直线相交于点T,则T在定直线x=-t上.

点评:当直线l过抛物线的焦点时,点T在抛物线的准线上.

还可以由命题3衍生出两个推论:

推论1:已知O为抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点,过点(t,0)(t>0)的直线l交C于A,B两点,过点B与x轴平行的直线与直线x=-t相交于点T,则直线AT经过点O.

推论2:已知O为抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点,过点(t,0)(t>0)的直线l交C于A,B两点,直线OA与直线x=-t相交于点T,则直线BT平行于抛物线的对称轴.

其中推论2是对人教A版选修2-1中第50页例5的直接推广.

以上命题和推论的证明可参照本文题目中第(2)问的解法,限于篇幅不再赘述.

四、真题链接

与典例同类型的问题在高考题和竞赛题中多次出现:

(1)求E的方程；

(2)证明:直线CD过定点.

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹；

(3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

五、教学启示