函数零点个数问题解题策略的思考

北京 韩静波

函数的零点是高中数学中重要的概念，将函数与方程联系在一起，使方程根的问题和函数零点的问题可以相互转化.函数零点个数问题也是高考命题的热点之一，此类问题具有综合性，且解题方法灵活多变，本文结合实例探究函数零点个数问题的一般逻辑思考过程.

一、原理分析

在解决函数零点个数问题时，可按照下图进行逻辑思考.

1.方程角度

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根，若方程f(x)=0是可解、易解的方程(例如一元一次方程，一元二次方程，简单的分式、指数、对数或三角方程等)，则可从方程角度研究方程实根的个数.

2.函数角度

从函数的角度研究函数零点的个数，首先从形的角度，利用函数图象直观观察函数零点的个数，然后从数的角度，利用函数性质和零点存在定理严格证明.

(1)从形的角度

函数y=f(x)的零点就是该函数图象与x轴交点的横坐标，因此若函数的图象易画出，则图象与x轴交点个数就是函数零点的个数.更进一步，若函数f(x)可以表示为两个函数的和、差、积、商，例如f(x)=g(x)-h(x)，则f(x)的零点个数⟺g(x)=h(x)方程实根的个数⟺函数g(x)与函数h(x)图象的交点个数.

(2)从数的角度

原理：已知函数y=f(x)在(a,b)上单调且图象连续不断.若存在x1,x2∈(a,b)，满足f(x1)f(x2)<0，则函数y=f(x)在(a,b)上有且只有一个零点，否则(即f(x)>0或f(x)<0在(a,b)上恒成立)函数y=f(x)在(a,b)上无零点.

因此，研究函数y=f(x)在区间D上的零点个数，可先研究该函数在D上的单调性，根据上述原理，在每个单调区间上研究函数零点的个数.

二、函数零点个数问题的解题策略总结

函数零点个数问题比较综合，解决方法灵活，问题的解决不能照搬套用，而应该依据问题的具体情境，通过严格的推理，灵活选择解决问题的方法.具体解题策略如下：

首先考虑方程f(x)=0是否可解或易解，如果是，则可用方程方法研究，如果不是，需要利用函数方法进行研究；然后继续思考函数f(x)是否为常规函数，如果是，画出函数图象，则可直观观察得出结论，如果不是常规函数，则继续考虑能否转化为常规函数；如果可以，即可转化为两个常规函数的交点个数问题，画出函数图象，则可直观观察得出结论，如果不可转化(此类函数称为复杂函数)，则利用导数研究函数的单调性、极值、最值(也需考虑奇偶性(对称性)、周期性、及函数的一些特殊点)，然后根据性质画出图象，则可直观观察得出结论.需注意，若利用函数方法研究函数零点个数问题，严格论证需要利用上述一2(2)的方法.

三、应用策略解决具体问题

根据上述解题策略，在研究函数y=f(x)的零点个数问题时，通常可以按照如下问题逐层深入思考.

问题1：方程f(x)=0是否可解、易解？

研究函数y=f(x)的零点个数问题时，通常可以先思考方程f(x)=0是否可解、易解？如果是，可以根据方程知识直接求解(如下题)；如果不是，可以继续思考问题2.

所以函数f(x)的零点个数是2.

由此题可知，一般地，如果方程f(x)=0可解、易解，就可以用方程知识(例如本题解法1)研究函数y=f(x)的零点个数问题.对于本题，方程方法更简便.

问题2：函数y=f(x)是否为常规的函数？

在问题1的基础上，如果方程f(x)=0不可解或不易解，通常利用函数方法研究函数零点个数问题.一般地，首先思考函数y=f(x)是否为常规函数(图象和性质都已知的函数)？如果是，可直接画出函数图象，直观观察函数零点个数；如果不是，继续思考问题3.

解析：函数g(x)=f(x)-k的零点个数，即为方程f(x)=k的实根个数，即函数f(x)的图象与直线y=k交点的个数.

函数f(x)图象如下：

由此题可知，若函数y=f(x)为常规函数，即其图象和性质已知，则可以画出函数f(x)的图象，直观观察其零点个数，但需注意数形的互补，即一方面借助图的直观性，另一方面要注意数的精确性(例如此题中的最大值与渐近线).另外，这种方法主要依靠直观观察，可以分析出结论，但不能算作严格证明，严格论证需要利用上述一2(2)的方法.

问题3：能否转化为常规函数？

在问题2的基础上，如果函数y=f(x)不是常规函数，一般地，思考能否将不常规函数转化为常规函数，如果能，画出常规函数图象，直观观察零点的个数(如下题)；如果不能，继续思考问题4.

由图可知，函数g(x)与函数h(x)在区间(0,4)内的交点个数为3，

由此题可知，“将不常规函数转化为常规函数”，即通过对方程f(x)=0进行变形，从而将非常规函数f(x)的零点个数问题转化为两个常规函数图象交点个数的问题，然后画出两个常规函数的图象，直观观察出交点个数，即f(x)零点个数.同问题2，画图需注意数形的互补 (例如(1)中的渐近线与一些特殊点).另外，这种方法主要依靠直观观察，可以分析出结论，但不能算作严格证明，严格论证需要利用上述一2(2)的方法.

问题4：如何研究函数性，并根据性质画出函数图象

在问题3的基础上，如果函数y=f(x)不是常规的函数并且不可转化为常规函数，一般地，需要研究函数的性质，即单调性、奇偶性(对称性)、周期性、极值、最值以及特殊点的函数值，然后根据性质画出函数图象,直观观察出函数零点个数.需注意函数零点个数的严格论证需要利用上述一2(2)的方法.如下题：

【例4】设函数f(x)=mex-x2+3，其中m∈R．若函数f(x)在区间[-2,4]上有两个零点，求m的取值范围．

由g′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.

当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：

x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g'(x)-0+0-g(x)↘极小值↗极大值↘

所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增.

由此题可知，研究非常规函数的性质关键在于利用导数研究函数的单调性、极值、最值，然后根据性质，画出函数图象，可直观观察出结论，在此基础上，如果需进一步严格证明，则需要在每一个单调区间上用零点存在定理证明.另外，虽然此类非常规函数不可转化为常规函数，但仍可通过对方程f(x)=0进行变形，转化为更简单函数的零点个数问题(例如此题中，研究g(x)比研究f(x)更容易).