探究核心素养下的《坐标系与参数方程》高考试题

甘肃 王新宏

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出高中学生学习数学应该形成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六个数学核心素养；新的课程标准也是教学与考试的纲领性文件；认真探究2019年的高考数学试题，不难发现其中一些试题很好地体现了发展学生核心素养的指导思想，数学核心素养是适应个人发展和社会发展所需要的思维品质与关键能力；数学核心素养可以通过接受数学教育教学来形成和发展；在高考数学试题中聚焦数学核心素养符合课程改革的方向，也有利于高中数学教学回归到育人的正确轨道上来.

在选做题中，大部分考生会选择《坐标系与参数方程》，但2019年的高考结束之后，好多考生都说以前的高考是换汤不换药，今年的高考是直接换了个“碗”，真是太难了，不会做，不适应；究其原因，主要是命题中心的专家们正在把高考向新课改的方向改革，关注创新，体现新课改的精神，让高考由过去的能力为立意慢慢地向能力与数学核心素养为立意转化，充分考查考生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.

【例1】(2019·全国卷Ⅰ·文22理22)选修4-4：坐标系与参数方程

(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程；

(Ⅱ)求C上的点到l距离的最小值.

点评:这是答案汇编给出的解答,但绝大多数考生根本想不到解决问题的突破口，就被困住了,找不到好的转换解决办法,只好放弃；现在的高考是基于核心素养下的高考，由过去的能力立意正在慢慢地向核心素养导向转化，彻底改变过去靠死记硬背公式、刷题搞题海战术等低效的学习方式，要求考生深刻理解数学的本质，尝试用数学的眼光观察问题，用数学的思想分析问题，发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

(Ⅰ)分析一：参数方程化为直角坐标系下的普通方程的常用方法有：代入消参法、平方相减消参法、三角消参法(利用sin2θ+cos2θ=1)等，但本题较新颖,直接利用这些方法都行不通，故需要冷静思考，利用考生的直观想象、逻辑推理素养，把问题等价转化到能消参的轨道上去；因为参数方程中分母均为二次，分子一个为二次一个为一次，故可利用分离常数法，把二次转化为一次，之后的消参就水到渠成、顺理成章了.

点评:①对绝大多数考生来说这题有两个难点，一是将参数方程化为普通方程，二是x为什么不等于-1.因此，它是一道有很高区分度的题，让搞题海战术的考生无所适从、束手无策.但对于数学基本功特别扎实，数学素养特别灵敏的考生，就是手到擒来、轻而易举.

②无论是学生还是教师,不能只低头犁地,更要抬头看课程改革这片天,现在的高考数学是紧紧围绕在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的六大核心素养下出题，所以需要从六大核心素养的角度来理解和复习高考数学；这道题主要考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等素养；其中逻辑推理是以具体问题为材料，文字的理解为帮手，敏锐的思考分析、快捷的反应、迅速的掌握其内在关系及核心的一种高级思维活动，是新高考主要考查的一种数学素养,所以需重视逻辑思维能力的训练,引导学生积极拓展思维的宽度,挖掘思维的深度,提升解题能力.

点评：利用椭圆的参数方程求最值是这类题的常规方法，但解法2利用数形结合求最值显得更直观、简洁.

【例2】(2019·全国卷Ⅱ·文22理22)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

分析：本题主要考查极坐标的几何意义、动点的轨迹方程求法等知识，考查数形结合思想的应用，考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算.

点评:① (Ⅰ)(Ⅱ)两问直接用极坐标来做要比化为直角坐标简单、快速得多,所以极坐标试题应打破定式思维,尽量优先用极坐标思想解题,而不是都化为直角坐标来做,这不仅是一种解题方法,更是一种优化策略、解题捷径.

反思与建议

①警醒过度、低效的题海战术

《坐标系与参数方程》选考题是大多数考生选做的试题，在高三的复习中，练习了大量的加减消参、代入消参、三角消参(利用sin2θ+cos2θ=1)、平方相减消参等，也练习了很多的化为直角坐标系后解决相关问题的试题，但像这样转换后消参，必须利用极坐标思想解决的试题几乎没有，所以当遇到这样非常态的新题，考生的心理预防容易崩溃，这类新题对考生的能力要求较高,仅凭刷题已无法达到中档题不丢分的目的,所以我们必须引以为戒,在平时的复习中,很有必要精选一些这样的新题,让学生学会独立思考,勤于推理，勇于转化,加强自我钻研的信心与精神，形成多思多悟的自觉意识,提高思维的灵活性和批判性,促使数学学科素养在高中课堂落地生根，开花结果.

②坚持极坐标思想优先的原则

许多考生受高三复习的影响，在做《坐标系与参数方程》选做题时，多化为直角坐标系下的普通方程求解，形成了这样的定式思维，往往就掉进了高考命题专家们为其设计的温柔陷阱，要么运算特别烦琐，要么根本就解不出来；大家都知道，极坐标中ρ为极径，表示曲线上这一点与原点O之间的距离，为此与原点O有关的距离、面积或需直接写出ρ，θ之间的关系式等问题都需优先考虑运用极坐标中ρ的几何意义去解决它.这不仅是一种解题思路，更多时候它要比化为直角坐标运算简便的多，是一种优化策略，可谓事半功倍.

③灵活应用等价转化与数形结合数学思想

经过长时间的教学我们发现,数学成绩高的学生相比于数学成绩一般的学生主要有两个方面的差异,一是数学成绩高的学生擅长等价转化问题,把一个外表看起来比较陌生、难的数学问题,想方设法等价转化为我们熟悉的、容易的问题再得以解决；二是他们擅长通过画图，利用图形的几何性质解决问题，这样不但降低了思维的难度，而且帮助构建了解题的思路，顺利找到解题的切入点或突破口，看清问题的实质，减少了运算量，优化了解题的过程.所以高中数学中能画图的数学试题都需要画图，数形结合效率高.

④建立错题本是提高成绩必备的利器