对2020年一道数列不等式模考题的思考

安徽 李昭平

数列与不等式的交汇，是高考中一种常见的题型，放缩、裂项、累加常常是处理此类问题的有效途径. 本文是笔者对2020年一道最新数列不等式模考题进行的思考与探究，旨在揭示解题思想，锤炼数学思维.

1. 题目

(Ⅰ) 确定数列{an}的单调性，并求出{an}中项的最小值；

2. 分析

3. 解答

因此{an}中项的最小值是a1.

4. 结论

由上述解答，得到以下结论：对于形如an+1=an+f(an,n)的递推式，可以通过变形为an+1-an=f(an,n)来研究数列{an}的单调性和项的最值.在无法求通项公式an时，往往可以通过适当的放缩、裂项、累加等变形和运算，确定其通项满足的不等式，实现解题的目的.an+1=an+f(n)是an+1=an+f(an,n)的特殊情形，此时往往能求出通项公式an.

5.联想

5.1引申联想

适当改变模考题的结构式，作引申联想，得到以下内容.

5.2逆向联想

对模考题作逆向思考，适当互换题设条件与结论得到如下内容.

5.3 类比联想

将模考题结构式中的“加号”向“乘号”类比，得到如下内容.

两边取常用对数得lgan+1≤3lgan-2lg2，即lgan+1-lg2≤3(lgan-lg2).

当n=1时,an=2·103n.故an≤2·103n(n∈N*).