探索一道最值问题的演变路径

陕西 李 歆

学生数学核心素养的培养和提升已成为当代数学教学的根本目标和任务，教师必须站在数学思想和方法研究的高度，依托数学基本知识、基本方法和基本技能，引导学生思考数学，体验数学，从中发现问题，提出问题，解决问题，使数学解题不断富有新的生命，才能使数学核心素养得以有效体现与落实.

一、问题呈现

这是一道在实数范围内，求二元函数的最大值问题，入手不是很容易，对学生观察问题和数学变形的能力要求较高.

二、两种解法

从整体的角度观察，所求问题式的分子含有三个因式，当把前两个因式展开后，出现了xy+1与x+y项，而分母含有两个因式，可以用柯西不等式进行放缩，由此可得下面解法1.

【解法1】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，则

(1)若x-1，y-1同号，可得(x-1)(y-1)≥0，整理得x+y≤xy+1①，

(2)若x-1，y-1异号，可得(x-1)(y-1)≤0，整理得xy+1≤x+y②，

综合(1)(2)得u≤2，当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=2.

【点评】解法1利用分类讨论思想，从两个实数x-1，y-1为同号或异号入手，通过问题隐含的两个不等式①、②，使问题得以顺利解决.但此解法首先假定了x>0，y>0，如果不这样做，还能求解吗？

由分子入手，通过变形，将分式进行拆项处理，可得下面解法2.

【解法2】对所求问题式变形，并应用基本不等式和柯西不等式得

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=2.

【点评】在解法2中，将分子展开式中的项(x+y)(xy+1)变形为x(y2+1)+y(x2+1)，为分式拆项后顺利应用基本不等式打开了通道，因此，变形既是一种基本的解题素养，更是一种解题水平、能力和智慧的彰显，应该成为教学的常态.

三、演变路径

数学问题往往由已知条件和所求问题两部分构成，在保持原有问题类别不变的情况下，设法改变已知条件和所求问题的结构，从而让原有问题进行重组，输送出新鲜血液，孕育出新的生命价值.

路径1：将分子与分母分离

【变式1】已知x,y为实数，且(x2+1)(y2+1)=4，求(x+1)(y+1)(xy+1)的最大值.

【解析】由已知条件及基本不等式和柯西不等式，得

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故(x+1)(y+1)(xy+1)的最大值为8.

【变式2】已知x,y为实数，且(x+1)(y+1)(xy+1)=8，求(x2+1)(y2+1)的最小值.

【解析】由已知条件，得8=(xy+1)2+x(y2+1)+y(x2+1)，

则由基本不等式和柯西不等式，得

所以(x2+1)(y2+1)≥4，当且仅当x=1，y=1时等号成立.

故(x2+1)(y2+1)的最小值为4.

【点评】将分子与分母分别看成一个独立地整体，给其中一个赋值，求另一个的最值，从而将原有分式函数的最值问题转化为整式函数的最值问题，虽然题型结构发生了改变，但因各个因式之间的位置没有改变，使得原问题的解法2得到了传承.

路径2：给部分因式取常数

【解析】由已知条件，易得0

【变式4】已知x,y为正数，且x2y+x+xy=3，求(x+1)2(y+1)的最小值.

(x+1)2(y+1)=(x2+2x+1)(y+1)

=(x2y+x+xy)+x2+x+(x+1)y+1

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故(x+1)2(y+1)的最小值为8.

【点评】给(x+y)(xy+1)取常数4，即得到已知条件，将原有问题式调整后变为新的问题式(x+1)2(y+1)，展开式为x2y+2xy+x2+2x+y+1，通过分组拆项后，必须将已知条件和已知条件的变式③分别代换，才能保障均值不等式的应用畅通，否则就会思路受阻.

路径3：将因式上下移动

【解析】令xy=t，则由已知条件易得0

由此可知，f(t)在(0,1]上单调递增，所以f(t)≤f(1)=2，

从而可知u≤2，当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=2.

【解析】由已知条件易得0

④式等价于2(xy+3)≥x3y3-x2y2+3xy+5，

移项整理得x3y3-x2y2+xy-1≤0，

分解因式得(xy-1)(x2y2+1)≤0，此式显然成立，从而可知④式成立.

【点评】由已知条件及x,y的对称性，猜想④式成立，由此缩短了思考过程，若按照上述变式5用导数求解，则要复杂一些.

路径4：将因式变乘为加

【解析】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，则

(1)若x-1，y-1同号，可得(x-1)(y-1)≥0，整理得x+y≤xy+1，

(2)若x-1，y-1异号，可得(x-1)(y-1)≤0，整理得xy+1≤x+y，

【点评】由于问题式的分子与分母是非齐次形式，增加了解题的难度，但受前面原有问题解法1的启发，将目标聚焦到x+y与xy+1的大小关系上，就找到了解题突破口，同时对x2+y2的灵活放缩，对解题的成功起到了杠杆支撑作用.

路径5：给展开式中的部分项和取常数

【解析】由已知条件及均值不等式，得

整理得(x+y-2)[(x+y)2+2(x+y)+8]≥0，所以x+y≥2，

于是由柯西不等式，得

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=2.

【解析】由已知条件，易得0

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=3.

路径6：减少展开式中的项

【解析】对所求问题式先变形，然后由基本不等式，得

当且仅当x=1，y=1时等号成立.故umax=1.

【解析】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，则由基本不等式，得

【点评】由于减少了原有问题展开式中的项，因此变式10和变式11变得相对简单一些，但是在求解过程中，因为两种变式问题分母的不同，后者先要进行放缩才能变成与前者分母一样，所以必须先要假定x>0，y>0，才能保证放缩第一步的正确性.

路径7：改变因式中的常数项

【解析】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，

则由基本不等式和柯西不等式，得

当且仅当x=1，y=2时等号成立.故umax=2.

【点评】当把分子中后两个因式的常数项改变时，分母中第二个因式的常数项也要跟着改变，同时要保障放缩的路径不发生改变.

路径8：改变因式中的变量系数与常数项

【解析】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，

则由基本不等式和柯西不等式，得

【点评】当分子中第一个因式的系数与第二个因式的常数项改变时，分母中第一个因式的系数与第二个因式的常数项要变为它们的平方，这样才能保障放缩的路径保持不变.

路径9：将因式中的变量系数与常数进行拓展

【证明】因为所求问题为最大值，不妨设x>0，y>0，

则由基本不等式和柯西不等式，得

四、收获与思考